分からない問題はここに書いてね 472 (978ﾚｽ)
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34(2): １３２人目の素数さん [] 2024/05/01(水)02:09 ID:AD3i5GdB(1/4)
〔問題538〕
　∫[0,π] x・sin(x)/[2−cos(x)^2] dx

　高校数学の質問スレ_Part434 - 538

ヒント：x = π−t で置換する。　(565)

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60: １３２人目の素数さん [] 2024/07/29(月)23:16 ID:Befcic63(1)
>>34
∫[0,π] x・sin(x)/[2−cos(x)^2] dx

= ∫[0,π] x・sin(x)/(sin^2(x) + 1) dx

= ∫[0,π] x・(sin(x)/(sin^2(x) + 1)) dx

（部分積分）
= [-x・cot(x)]₀^π + ∫[0,π] cot(x) dx

= π + ∫[0,π] (cos(x)/sin(x)) dx

（置換積分 t = sin(x) とおく）
= π + ∫[0,1] (1/t) dt

= π + [log|t|]₀^1

= π

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70: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/09(金)12:44 ID:38HSwXdl(1/2)
>>34
　x=π-t　とおけば
　I = ∫[0,π] x・sin(x)/{2-cos(x)^2} dx
　　= ∫[0,π] (π-t)・sin(t)/{2-cos(t)^2} dt
辺々足して2で割ると
　I = (π/2) ∫[0,π] sin(x)/{2-cos(x)^2} dx
　　= (π/2) ∫[-1,1] 1/(2-uu) du　　　(u=cos(x))
　　= (π/(4√2)) ∫[-1,1] {1/(√2 -u) + 1/(√2 +u)} du
　　= (π/(4√2)) [ log(√2+u) − log(√2-u) ](u=-1,1)
　　= (π/√2) log(1+√2)
　　= 1.95792

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