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290: １３２人目の素数さん [] 2024/12/23(月)13:51 ID:im/spyfh(1/6)
杉浦光夫著『解析入門I』
1変数の積分の変数変換公式（p.235）を適用して、 ∫_{0}^{π} (x * sin(x)) / (1 + (cos(x))^2) dx を計算しています：
∫_{0}^{π} (x * sin(x)) / (1 + (cos(x))^2) dx = (π/2) * ∫_{0}^{π} sin(x) / (1 + (cos(x))^2) dx = (π/2) * ∫_{-1}^{1} 1 / (1 + u^2) du = π^2 / 4
(π/2) * ∫_{0}^{π} sin(x) / (1 + (cos(x))^2) dx = (π/2) * ∫_{-1}^{1} 1 / (1 + u^2) du のところで、 「cos(x) = u と置いた」などと書いています。
おそらく、 dx = 1 / (-sin(x)) du などと計算して、それを「代入」して、
(π/2) * ∫_{0}^{π} sin(x) / (1 + (cos(x))^2) dx = (π/2) * ∫_{1}^{0} [sin(x) / (1 + u^2)] * [1 / (-sin(x))] du = (π/2) * ∫_{0}^{1} 1 / 1 + u^2 du などとやったのだと思われます。
ですが、変数変換の公式をいくら眺めてもそのような操作が許されるとは書いてありません。
291(2): １３２人目の素数さん [] 2024/12/23(月)13:51 ID:im/spyfh(2/6)
変数変換の公式を使うのならば以下のようになるはずです：
(π/2) * ∫_{0}^{π} sin(x) / (1 + (cos(x))^2) dx
x = Arccos(u) と変数変換する。
dx = -1 / √(1 - u^2) du
sin(Arccos(u)) = √(1 - (cos(Arccos(u)))^2) = √(1 - u^2)
変数変換の公式により、
(π/2) * ∫_{0}^{π} sin(x) / (1 + (cos(x))^2) dx = (π/2) * ∫_{1}^{-1} [√(1 - u^2) / (1 + u^2)] * [-1 / √(1 - u^2)] du = (π/2) * ∫_{-1}^{1} 1 / (1 + u^2)] du
が成立つ。
dx = 1 / (-sin(x)) du と計算して、それを「代入」してよい理由をちゃんと説明すべきです。
これってありですか？
292(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/23(月)14:12 ID:im/spyfh(3/6)
Arccos : [-1, 1] → [0, π]
u0 ∈ (-1, 1) とし、 (0, π) ∋ x0 := Arccos(u0) とする。
(dx/du)(u0) = Arccos'(u0) = 1 / cos'(x0) = 1 / sin(x0) であるから、
sin(x0) / (1 + (cos(x0))^2) dx = [sin(x0) / (1 + u0^2)] * [1 / sin(x0)] du = 1 / (1 + u0^2) du
となって、正当化できそうですが、 u0 = -1 or 1 のときにはどうすればいいですか？
294: １３２人目の素数さん [] 2024/12/23(月)14:52 ID:im/spyfh(4/6)
あ、端点の話は
>>291
のやり方でも問題ですね。
295: １３２人目の素数さん [] 2024/12/23(月)14:58 ID:im/spyfh(5/6)
結局、正当化については
>>292
で良くて、端点の問題は広義積分として扱って切り抜けるんですね。
296: １３２人目の素数さん [] 2024/12/23(月)16:55 ID:im/spyfh(6/6)
杉浦光夫著『解析入門I』
p.239
定理5.8に、「f ; U → R^m」などと書かれています。
「f : U → R^m」が正しいですよね。
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