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822: １３２人目の素数さん [] 04/11(金)16:21 ID:hPLgLj88(1/10)
S ⊂ R^n を連結集合とする。
f : S → R を連続関数とする。
a, b ∈ S とする。
f(a) < f(b) とする。
f(a) < y < f(b) とする。
このとき、
y ∈ f(S) である。
ある本にこの定理の証明は f(S) が連結であることに注意すれば、簡単だから読者に任せると書いてあります。
この本には、 R の連結部分集合は区間であるという命題は書いてありませんので、 f(S) が区間であることは使ってはいけません。
本当に↑の定理の証明は簡単ですか？
本当に簡単ですか？
823: １３２人目の素数さん [] 04/11(金)16:24 ID:hPLgLj88(2/10)
例えば、 S が開集合であれば、 S は弧状連結なので、通常の中間値の定理より定理は成り立ちます。
824: １３２人目の素数さん [] 04/11(金)16:30 ID:hPLgLj88(3/10)
S が弧状連結でない場合には、どうすればいいですか？
f(S) が開集合である場合には、 f(S) は弧状連結です。
ですので、連続関数 g : [c, d] → f(S) で、 g(c) = f(a), g(d) = f(b) となるようなものが存在します。
ですので、やはり通常の中間値の定理により、 y = g(x) となる x ∈ (c, d) が存在します。
g(x) ∈ f(S) なので、 y = g(x) ∈ f(S) です。
825: １３２人目の素数さん [] 04/11(金)16:31 ID:hPLgLj88(4/10)
S が弧状連結でなく、 f(S) も弧状連結でない場合にはどうすればいいですか？
826: １３２人目の素数さん [] 04/11(金)16:32 ID:hPLgLj88(5/10)
S も f(S) も開集合でない場合には、どうすればいいですか？
827: １３２人目の素数さん [] 04/11(金)16:33 ID:hPLgLj88(6/10)
もしかして、 R^1 の部分集合 S が連結であれば、弧状連結であるといえますか？
828: １３２人目の素数さん [] 04/11(金)16:34 ID:hPLgLj88(7/10)
なぜそう予想するかというと有名なトポロジストの正弦曲線というのが2次元での例だからです。
もし、1次元の例があれば、それを書くはずだからです。
829: １３２人目の素数さん [] 04/11(金)16:38 ID:hPLgLj88(8/10)
あ、成り立ちますね。
区間しかないわけですから。
830: １３２人目の素数さん [] 04/11(金)16:38 ID:hPLgLj88(9/10)
あ、成り立ちますね。
区間しかないわけですから。
831(1): １３２人目の素数さん [] 04/11(金)16:43 ID:hPLgLj88(10/10)
なんか結局、 R^1 の連結部分集合は区間であるということを証明するのと同じくらいの労力がかかりそうな気がします。
著者の簡単であるという発言が誤りだったということになりそうです。
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