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306(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/25(水)20:58 ID:Uz20zpKU(1/4)
S := {t ∈ I : f(t) = M} とする。
N := f(inf S) とする。
N < M と仮定して矛盾を導く。
f は連続だから、 ε := M - N に対して、正の実数 δ で以下をみたすようなものが存在する。
|t - inf S| < δ and t ∈ I ⇒ |f(t) - N| < ε
一方、
inf S ≦ t0 < inf S + δ をみたす t0 ∈ S が存在する。
|t0 - inf S| < δ and t0 ∈ I ⇒ |f(t0) - N| < ε = M - N
よって、 f(t0) < M
一方、 t0 ∈ S だから f(t0) = M
これは矛盾である。
307(2): １３２人目の素数さん [] 2024/12/25(水)21:03 ID:Uz20zpKU(2/4)
>>306
訂正します：
S := {t ∈ I : f(t) = M} とする。
inf S ∈ I である。
N := f(inf S) とする。
N < M と仮定して矛盾を導く。
f は inf S で連続だから、 ε := M - N に対して、正の実数 δ で以下をみたすようなものが存在する。
|t - inf S| < δ and t ∈ I ⇒ |f(t) - N| < ε
一方、
inf S ≦ t0 < inf S + δ をみたす t0 ∈ S が存在する。
308(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/25(水)21:03 ID:Uz20zpKU(3/4)
|t0 - inf S| < δ and t0 ∈ I だから |f(t0) - N| < ε = M - N が成立つ。
よって、 f(t0) < M
一方、 t0 ∈ S だから f(t0) = M
これは矛盾である。
よって、 N = M である。
よって、 inf S ∈ S である。
よって、 inf S は S の最小元である。
309: １３２人目の素数さん [] 2024/12/25(水)21:10 ID:Uz20zpKU(4/4)
>>305
の証明と
>>307
>>308
の証明ではどちらが優れていますか？
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