分からない問題はここに書いてね 472 (974ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞 あぼーん
ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡
229(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/09/23(月)00:43 ID:PuFOgYAw(1/4)
以下のような問題に読み替える。
----
n を自然数とする。次のようなゲームを考える。
(※)
. 確率 1/2 でコスト 1 消費して失敗
. 確率 1/4 でコスト 2 消費して失敗
. 確率 1/8 でコスト 3 消費して失敗
. 確率 1/8 でコスト 3 消費して成功
試行 (※) を繰り返し消費コストの総計が n を超えた時点で終了。最終ゲームは無効として残りの有効なゲーム数を Tₙ、成功回数を Sₙ として lim E(Sₙ/Tₙ) = 1/8 である。
----
230: １３２人目の素数さん [sage] 2024/09/23(月)00:43 ID:PuFOgYAw(2/4)
Claim 1 ) P( |Tₙ - 4/7n| > n^(2/3) ) → 0
(∵) 結論を否定すると ε>0 と無限集合 S を
. P( |Tₙ - 4/7n| > n^(2/3) ) > ε ( ∀n ∈ S )
となるようにとれる。このとき z>0 を Y が N(0,1) に従うとき
. P( |Y| > z ) < ε/2
を満たすようにとれる。
このとき十分大きい N₁ で 任意の n > N₁ で (n^(2/3)-5)/√⌊4/7n⌋ > z となるようにとれる。
さらに CLT より十分大きい N₂ で任意の n > N₂ にたいして
. | P( Σ_{k≦4/7n} ( Cₖ - 7/4 )/√⌊4/7n⌋ ≧ z ) - P( Y ≧ z ) | < ε/2
となるようにとれる。N₃ = max{N₁,N₂} とすれば任意の n>N₃ に対して
. |Tₙ - 4/7n| > n^(2/3)
. → ∃t | t - 4/7n| > n^(2/3) Σ_{k≦t} Cₖ = n,n-1,n-2
. ∧ | Σ_{k≦4/7n} Cₖ - Σ_{k≦t} Cₖ | = Σ_{...} Cₖ ≧ n^(2/3) - 1
. → |Σ_{k≦4/7n} ( Cₖ - 7/4 )| ≧ n^(2/3) - 5
. → Σ_{k≦4/7n} ( Cₖ - 7/4 )/√⌊4/7n⌋ ≧ (n^(2/3) - 5 )/√⌊4/7n⌋ ≧ z
だから
. n>N₃ → P( |Tₙ - 4/7n| > n^(2/3) ) < P( Y ≧ z ) + ε/2 ≦ ε
あるがこれは矛盾□
231: １３２人目の素数さん [sage] 2024/09/23(月)00:44 ID:PuFOgYAw(3/4)
Claim 2 ) P( | Sₙ - 1/14 n | < 2n^(2/3) ) → 0
(∵) N(0,1) に従う Y をとる。ε>0 をとる。Claim1 と CLT から N>0 を任意の n>N に対して
. P(| Tₙ - 4/7 n | ≦ n^(2/3)) < ε/3
. | P(|Σ_k≦4/7n (Xₖ - 1/14)/ √⌊4/7n⌋ | > z ) - P( |Y| > z ) | < ε/3
を満たすようにとれる。さらに z>0 を
. P( |Y| > z ) < ε/3
を満たすようにとれる。Xₖ を k ゲームが成功したとき 1、そうでなければ 0 とする。このとき n>N に対して
. | Sₙ - 1/14 n | > 2n^(2/3) ∧ | Tₙ - 4/7 n | ≦ n^(2/3)
. → | Σ_{k≦4/7n} Xₖ - 1/14 n |
. ≧ |Σ_{k≦Tₙ} Xₖ - 1/14 n | - |Σ_{k≦Tₙ} Xₖ - Σ_{k≦4/7n} Xₖ | > n^(2/3)
. → |Σ_k≦4/7n (Xₖ - 1/14)/ √⌊4/7n⌋ | > n^(2/3)/√⌊4/7n⌋ > z
だから
P(| Sₙ - 1/14 n | > 2n^(2/3)) < P(| Tₙ - 4/7 n | ≦ n^(2/3)) + P( |Y| > z ) + ε/3 < ε
が成立する。□
232: １３２人目の素数さん [sage] 2024/09/23(月)00:44 ID:PuFOgYAw(4/4)
( Pf. of the assertion ) ε > 0 を任意に選ぶとき N > 0 を任意の n > N に対して
. | (1/14 n ± 2n^(2/3)) / (4/7 n ∓ n^(2/3)) - 1/8 |< ε
となるようにとれる。このとき
. | Sₙ - 1/14 n | ≦ 2n^(2/3) ⋀ | Tₙ - 4/7 n | ≦ n^(2/3)
. → Sₙ/Tₙ > (1/14 n - 2n^(2/3)) / (4/7 n + n^(2/3)) > 1/8 - ε
. ⋀ Sₙ/Tₙ < (1/14 n + 2n^(2/3)) / (4/7 n - n^(2/3)) < 1/8 + ε
∴ P( | Sₙ/Tₙ - 1/8 | > ε ) ≦ P(| Sₙ - 1/14 n |>2n^(2/3) ) + P(| Tₙ - 4/7 n |>n^(2/3) )
∴ Sₙ/Tₙ → 1/8 in Porb.
∴ E(Sₙ/Tₙ) → E(1/8) = 1/8
である。□
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.034s