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477: １３２人目の素数さん [] 01/14(火)13:38 ID:CFti7dI6(1/2)
杉浦光夫著『解析入門I』

I ⊂ R^n を直方体とする。
Φ : R^2 ∋ (r, θ) = (r * cos(θ), r * sin(θ)) ∈ R^2 とする。
A = Φ(I) とする。
f(x, y) を A 上可積分とする。
I の分割を Δ とする。
I_{ij} （i = 1, …, m, j = 1, …, n）を分割された小長方形とする。
∪Φ(I_{ij}) は Φ(I) の一般分割である。
J_{ij} = Φ(I_{ij}) とする。
Δ に対応するこの一般分割を Δ' とする。
d(Δ) を Δ の直径とする。
d(Δ') を Δ' の直径とする。
Φ は I 上で一様連続だから、d(Δ) → 0 のとき、 d(Δ') → 0 である。

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478(1): １３２人目の素数さん [] 01/14(火)13:38 ID:CFti7dI6(2/2)
杉浦さんは、

lim_{d(Δ) → 0} Σ f(ξ_i, η_j) * v(J_{ij}) = ∫∫_{I} (f・Φ)(r, θ) * r

が成立つことを証明し、

∫∫_{A} f = ∫∫_{I} (f・Φ)(r, θ) * r

であると結論しています。

ですが、本当に示さなければならないのは、

lim_{d(Δ) → 0} Σ f(ξ_i, η_j) * v(J_{ij}) = ∫∫_{I} (f・Φ)(r, θ) * r

ではなく、

lim_{d(Δ') → 0} Σ f(ξ_i, η_j) * v(J_{ij}) = ∫∫_{I} (f・Φ)(r, θ) * r

です。

d(Δ') → 0 のとき、 d(Δ) → 0 はどうやって示すのでしょうか？

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