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876: １３２人目の素数さん [] 04/25(金)03:03 ID:4SB97Md9(1/5)
>>874
は杉浦光夫著『解析入門I』に書いてある問題ですが、問題の点 x ∈ I で、 α'(x) > 0 である場合と α'(x) < 0 である場合には容易に証明できますが、 α'(x) = 0 である場合の証明ができません。
杉浦さんの超略解はありますが、役に立ちません。
877: １３２人目の素数さん [] 04/25(金)03:05 ID:4SB97Md9(2/5)
訂正します：
>>874
は杉浦光夫著『解析入門I』に書いてある問題ですが、問題の点 x ∈ I で、 φ'(x) > 0 である場合と φ'(x) < 0 である場合には容易に証明できますが、 φ'(x) = 0 である場合の証明ができません。
杉浦さんの超略解はありますが、役に立ちません。
878(1): １３２人目の素数さん [] 04/25(金)04:03 ID:4SB97Md9(3/5)
実は、問題の点 x ∈ I で、 φ'(x) = 0 であることが証明できるといいことがあります。
まず、 φ(x) = x^2 * sin(1/x) for x ∈ [-1, 1] - {0}, φ(0) = 0 と定義します。
φ は [-1, 1] で有界変動です。
f を [-1, 1] で連続で、 f(0) ≠ 0 であるような関数とします。
すると、 f は φ に関し [-1, 1] でStieltjes積分可能です。
杉浦さんの問題によると以下が成り立ちます：
「
不定積分 F(x) = ∫_{-1}^{x} f(t) dφ(t) (x ∈ [-1, 1]) は以下をみたす。
φ'(x) が存在し、 f が連続である点 x ∈ I で F は微分可能で、次式が成立つ：
F'(x) = f(x) * φ'(x)
」
φ'(0) は存在します。
f は 0 で連続です。
ですので、 F は 0 で微分可能で、 F'(0) = f(0) * φ'(0) が成り立ちます。
他の点 x ∈ [-1, 1] - {0} においても φ'(x) は存在しますし、 f は x で連続です。
ですので、F は x ∈ [-1, 1] - {0} で微分可能で、 F'(x) = f(x) * φ'(x) が成り立ちます。
F' は 0 で連続ではありません。
なぜなら、もし連続であるならば、 lim_{x→0} φ'(x) = lim_{x→0} F'(x) / f(x) = F'(0) / f(0) となってしまうからです。
879: １３２人目の素数さん [] 04/25(金)04:06 ID:4SB97Md9(4/5)
この方法で、微分可能ではあるが、導関数が連続ではないような関数が沢山得られます。
これが↑に書いた「いいこと」です。
880: １３２人目の素数さん [] 04/25(金)04:08 ID:4SB97Md9(5/5)
>>878
訂正します：
実は、問題の点 x ∈ I で、 φ'(x) = 0 である場合に、杉浦さんの問題が証明できれば、いいことがあります。
まず、 φ(x) = x^2 * sin(1/x) for x ∈ [-1, 1] - {0}, φ(0) = 0 と定義します。
φ は [-1, 1] で有界変動です。
f を [-1, 1] で連続で、 f(0) ≠ 0 であるような関数とします。
すると、 f は φ に関し [-1, 1] でStieltjes積分可能です。
杉浦さんの問題によると以下が成り立ちます：
「
不定積分 F(x) = ∫_{-1}^{x} f(t) dφ(t) (x ∈ [-1, 1]) は以下をみたす。
φ'(x) が存在し、 f が連続である点 x ∈ I で F は微分可能で、次式が成立つ：
F'(x) = f(x) * φ'(x)
」
φ'(0) は存在します。
f は 0 で連続です。
ですので、 F は 0 で微分可能で、 F'(0) = f(0) * φ'(0) が成り立ちます。
他の点 x ∈ [-1, 1] - {0} においても φ'(x) は存在しますし、 f は x で連続です。
ですので、F は x ∈ [-1, 1] - {0} で微分可能で、 F'(x) = f(x) * φ'(x) が成り立ちます。
F' は 0 で連続ではありません。
なぜなら、もし連続であるならば、 lim_{x→0} φ'(x) = lim_{x→0} F'(x) / f(x) = F'(0) / f(0) となってしまうからです。
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