分からない問題はここに書いてね 472 (986ﾚｽ)
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120: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/28(水) 00:46:59.89 ID:/KEcTnwV 3^x+4^y=5^z の自然数解 を教えてくださってもよろしくてよ 3^x ≡ 1 ( mod 5 ) より u = x/2 は自然数 5^z ≡ 1 ( mod 3 ) より w = z/2 は自然数 4^y = (5^w+3^u)(5^w-3^u) u が偶数とする。 5^w - 1 ≡ 1,2,4 ( mod 8 ) 5^w + 1 ≡ 1,2,4 ( mod 8 ) より 5^w ≡ 3 ( mod 8 ) が必要となって矛盾。 ∴ u は奇数。 5^w - 3 ≡ 1,2,4 ( mod 8 ) 5^w + 3 ≡ 1,2,4 ( mod 8 ) より 5^w ≡ 5 ( mod 8 ), 3^u ≡ 3 ( mod 8 ) が必要 ∴ u,w は 奇数、r = (w-1)/2 は非負整数。 で 5^w - 3^u は mod 8 で 2 に合同である 4^y の約数 ∴ 5^w - 3^u = 2 ∴ 5^w + 3^u = 4^y/2 ∴ 5^w = 4^y/4 + 1 ∴ (5^w-1) = (5-1)(5^(w-1)+...+1) = 4^y/4 ∴ (5^(w-1)+...+1) は 4^y/4 の奇数の約数 ∴ w = 1 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/120
121: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/28(水) 01:05:01.89 ID:/KEcTnwV 3^x ≡ 1 ( mod 5 ) より u = x/2 は自然数 5^z ≡ 1 ( mod 3 ) より w = z/2 は自然数 4^y = (5^w+3^u)(5^w-3^u) u が偶数とする。 5^w - 1 ≡ 0,1,2,4 ( mod 8 ) 5^w + 1 ≡ 0,1,2,4 ( mod 8 ) だが 5^w ≡ 1,7 ( mod 8 ) より両式と矛盾しないのは 5^w ≡ 1 ( mod 8 ) のみ。 しかしこのとき 5^w+3^u は mod 8 で 2 に合同な 4^y の約数だから 2 となり矛盾。 ∴ u は奇数。 5^w - 3 ≡ 0,1,2,4 ( mod 8 ) 5^w + 3 ≡ 0,1,2,4 ( mod 8 ) より 5^w - 3^u = 2 または 5^w + 3^u = 2 が必要となって後者は明らかに不可能 ∴ 5^w - 3 = 2, w は奇数 5^w - 3^u は mod 8 で 2 に合同である 4^y の約数 ∴ 5^w - 3^u = 2 ∴ 5^w + 3^u = 4^y/2 ∴ 5^w = 4^y/4 + 1 ∴ (5^w-1) = (5-1)(5^(w-1)+...+1) = 4^y/4 ∴ (5^(w-1)+...+1) は 4^y/4 の奇数の約数 ∴ w = 1 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/121
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