リーマン面

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43(1): １３２人目の素数さん [] 2024/01/05(金)10:15 ID:u57IHhu+(1/2)
Green関数が存在しないリーマン面の族を$O_G$と記す。分類理論では、開リーマン面$R$は$R\in O_G$のとき\textbf{放物型である}、または\textbf{零境界}を持つといい、$R\in O_G$のとき、\textbf{双曲型}である、または\textbf{正境界}を持つという。$O_G$を真に含む族は7種類に分類されるが、そのうち最大の$O_{ABD}$\footnote{有界でDirichlet積分が有限な正則関数が定数に限る族}は$O_{AD}$\footnote{Dirichlet積分が有限な正則関数が定数に限る族}に一致し、$O_{HD=}O_{HBD}\footnote{有界でDirichlet積分が有限な調和関数が定数に限る族}$なので、実質的には5種類である。
$R\in O_G$ならば$R$上の正値優調和関数は定数に限り、逆も正しい\footnote{大津賀の定理}(cf. [Otk])。言い換えれば、$R\in O_G$は$R$の理想境界のポテンシャル論的な「薄さ」と同等であり、これが「零境界」の由来と言ってよい。いわば面の零境界をさらに細かく区別して結実したものが、今日残されている分類理論である。

70: １３２人目の素数さん [sage] 2024/01/11(木)13:59 ID:ySGrs1KN(1/2)
>>43
双曲型も$R\in O_G$になってる
性質と「薄さ」(量的)が同等というのも気になるかも

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