リーマン面 (642ﾚｽ)

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55: １３２人目の素数さん [] 2024/01/09(火) 08:40:34.35 ID:mBZCubyo まず開リーマン面$R$上の関数のクラスとして、 区分的に滑らかな$\mathbb{C}$値有界関数$f$で Dirichlet積分$D[f]$が有限なものからなる集合 BD を考える。BDは単位元を持つ可換環である。 BD の位相を $$\lim_{i\to\infty}{f_i}=f\iff \sup_i{|f_i|_{\infty}}<\infty, f_i\to f\;(局所一様)\;\&\; \lim_{i\to\infty}{D[f_i-f]}=0$$ で定め、 $$K:=\{f\in {\rm BD};\; {\rm supp}{f}はコンパクト\}$$ とおく。このとき次が成り立つ。\\ \textbf{命題} $\;\;R\in O_G\iff 1\in\overline{K}.$\\ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1700727225/55

56: １３２人目の素数さん [] 2024/01/09(火) 10:14:23.62 ID:mBZCubyo BDをノルム$$\|f\|=\sup{|f|}+D[f]$$により完備化してできるBanach環\footnote{これを[S-N]では\textbf{Royden環}と呼んでいる。}は単位元を持ち可換であるので、Gelfand理論により、その極大イデアル全体のなすコンパクトな空間$R^*$上の$\mathbb{C}$値連続関数全体のなすBanach環の部分環である。$R$の点を付値写像とみなすことにより$R$は$R^*$の稠密な開集合と同一視できる\footnote{この$R^*\setminus R$を$R$の\textbf{Royden境界}という。}。$R^*\setminus R$の元で$K$を含むもの全体を$\Delta$と書く\footnote{この$\Delta$を[S-N]では\textbf{調和境界}(harmonic boundary)と呼んでいる。}。するとDirichlet問題の解は次のように定式化される。\\ $\Delta$上の任意の連続関数$f$に対し、$R^*$上の連続関数$u$で$\Delta$上で$f$に一致し$R$上で調和なものがただ一つ存在する。\\ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1700727225/56

57: １３２人目の素数さん [] 2024/01/09(火) 11:44:20.69 ID:mBZCubyo $R$が単位円板$|z|<1$のとき、$\Delta$は円周$|z|=1$上の点に内部から収束する 点列の種々の同値類から成る。[抄訳終わり]\\ これをふまえて、[S-N]では \textbf{Roydenコンパクト化}を次で定義している。 \begin{definition}リーマン面$R$の{\rm Royden} コンパクト化とは、 以下の$4$条件を満たす位相空間を指す。\\ 1) $R^*$はコンパクトな{\rm Hausdorff}空間である。\\ 2) $R^*$は$R$を稠密な開集合として含む。\\ 3) {\rm Royden}環の元は$R^*$上に連続関数として 拡張できる。\\ 4) $R^*$の任意の$2$点は{\rm Royden}環の元で 分離できる。\end{definition} http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1700727225/57

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