リーマン面 (642ﾚｽ)
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55: １３２人目の素数さん [] 2024/01/09(火)08:40 ID:mBZCubyo(1/3)
まず開リーマン面$R$上の関数のクラスとして、
区分的に滑らかな$\mathbb{C}$値有界関数$f$で
Dirichlet積分$D[f]$が有限なものからなる集合
BD を考える。BDは単位元を持つ可換環である。
BD の位相を
$$\lim_{i\to\infty}{f_i}=f\iff
\sup_i{|f_i|_{\infty}}<\infty,
f_i\to f\;(局所一様)\;\&\; \lim_{i\to\infty}{D[f_i-f]}=0$$
で定め、
$$K:=\{f\in {\rm BD};\; {\rm supp}{f}はコンパクト\}$$
とおく。このとき次が成り立つ。\\

\textbf{命題}
$\;\;R\in O_G\iff 1\in\overline{K}.$\\

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56: １３２人目の素数さん [] 2024/01/09(火)10:14 ID:mBZCubyo(2/3)
BDをノルム$$\|f\|=\sup{|f|}+D[f]$$により完備化してできるBanach環\footnote{これを[S-N]では\textbf{Royden環}と呼んでいる。}は単位元を持ち可換であるので、Gelfand理論により、その極大イデアル全体のなすコンパクトな空間$R^*$上の$\mathbb{C}$値連続関数全体のなすBanach環の部分環である。$R$の点を付値写像とみなすことにより$R$は$R^*$の稠密な開集合と同一視できる\footnote{この$R^*\setminus R$を$R$の\textbf{Royden境界}という。}。$R^*\setminus R$の元で$K$を含むもの全体を$\Delta$と書く\footnote{この$\Delta$を[S-N]では\textbf{調和境界}(harmonic boundary)と呼んでいる。}。するとDirichlet問題の解は次のように定式化される。\\

$\Delta$上の任意の連続関数$f$に対し、$R^*$上の連続関数$u$で$\Delta$上で$f$に一致し$R$上で調和なものがただ一つ存在する。\\

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57: １３２人目の素数さん [] 2024/01/09(火)11:44 ID:mBZCubyo(3/3)
$R$が単位円板$|z|<1$のとき、$\Delta$は円周$|z|=1$上の点に内部から収束する
点列の種々の同値類から成る。[抄訳終わり]\\

これをふまえて、[S-N]では
\textbf{Roydenコンパクト化}を次で定義している。
\begin{definition}リーマン面$R$の{\rm Royden}
コンパクト化とは、
以下の$4$条件を満たす位相空間を指す。\\
1) $R^*$はコンパクトな{\rm Hausdorff}空間である。\\
2) $R^*$は$R$を稠密な開集合として含む。\\
3) {\rm Royden}環の元は$R^*$上に連続関数として
拡張できる。\\
4) $R^*$の任意の$2$点は{\rm Royden}環の元で
分離できる。\end{definition}

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