リーマン面 (644ﾚｽ)
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51: １３２人目の素数さん [] 2024/01/07(日)11:38 ID:G55TxrWv(1/2)
\begin{definition}$R$内のすべての非正則点列に沿って
$+\infty$に発散する調和関数を$R$上の
{\rm Evans}ポテンシャルという
\footnote{平面内の有界領域で境界が有限個の
ジョルダン曲線からなるものは
非正則列を持たないので、その上の調和関数は
すべてEvansポテンシャルであるということになるが、
以下では非正則列を持つ場合が主たる興味の対象である。}。\end{definition}

ちなみに、Evans-Selbergポテンシャルの定義は次の通り。

\begin{definition}開リーマン面$R$と
$q\in R$に対し、$q$に極を持つ$R$上の
{\rm Evans-Selberg}ポテンシャルとは、
$R\setminus\{q\}$上の調和関数$u$であって、
$q$中心の局所座標$(U,z)$に関し$u(z)-\log{|z|}$が
$U$上調和であり、かつ$R$の任意の発散点列に沿って
$u$の値が$+\infty$に
発散するものをいう。\end{definition}

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52: １３２人目の素数さん [] 2024/01/07(日)23:21 ID:G55TxrWv(2/2)
\begin{definition}$R$内のすべての非正則点列に沿って
$+\infty$に発散する調和関数を$R$上の
{\rm Evans}ポテンシャルという
\footnote{平面内の有界領域で境界が有限個の
ジョルダン曲線からなるものは非正則列を持たないので、
その上の調和関数はすべてEvansポテンシャルであると
いうことになるが、以下では非正則列を持つ場合が
主たる興味の対象である。}。\end{definition}

ちなみに、Evans-Selbergポテンシャルの定義は次の通り。

\begin{definition}開リーマン面$R$と
$q\in R$に対し、$q$に極を持つ$R$上の
{\rm Evans-Selberg}ポテンシャルとは、
$R\setminus\{q\}$上の調和関数$u$であって、
$q$中心の局所座標$(U,z)$に関し
$u(z)-\log{|z|}$が$U$上調和であり、
かつ$R$の任意の発散点列に沿って$u$の値が
$+\infty$に発散するものをいう。\end{definition}

\begin{theorem}\footnote{[N100, \S 6.6]の「ポテンシャル論」の項目に、
「最後に倉持[3](=[K-2,3])はかつての予想\textquotedblleft 放物型の面上に
エヴァンズ・ポテンシャルが存在するか''に対して肯定的な答えを与えたことを
特記する。」とある。

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