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面白い問題おしえて～な 二十二問目©2ch.net (1002ﾚｽ)
面白い問題おしえて～な 二十二問目©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
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1: １３２人目の素数さん 転載ダメ©2ch.net [sageteoff] 2016/05/29(日) 20:27:46.04 ID:Bgd/STsi 過去ログ http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/ まとめwiki http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 1 http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/ 2 http://natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/ 3 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/ 4 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/ 5 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/ 6 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/ 7 http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/ 8 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/ 9 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/ 10 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/ 11 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/ 12 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/ 13 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/ 14 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/ 15 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/ 16 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/ 17 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/ 18 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/ 19 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/ 20 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/ 21 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/1
2: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2016/05/29(日) 20:32:34.70 ID:+FYO+/hK ￥ >性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が >8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、 >徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、 >8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に >逮捕されました。 > >性犯罪者 増田哲也の供述 >「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」 > http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/2
8: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2016/05/29(日) 20:34:24.84 ID:+FYO+/hK ￥ >性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が >8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、 >徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、 >8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に >逮捕されました。 > >性犯罪者 増田哲也の供述 >「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」 > http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/8
55: １３２人目の素数さん [sage] 2016/06/27(月) 05:30:33.99 ID:SuT+FOAi ×x^2+1<=p<=x^2+x-1の範囲 ○x^2+1<=p<=x^2+2x-1の範囲 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/55
59: １３２人目の素数さん [sage] 2016/06/27(月) 09:15:57.07 ID:V+43IZV3 ｍの倍数じゃないのは素数だとしてるのが駄目。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/59
72: １３２人目の素数さん [sage] 2016/06/27(月) 20:08:48.64 ID:SuT+FOAi (続く) N(x,m)が最小となるのは、N(x,m)がkの2次式でその2次の項の係数が負であり 頂点がk=1/(2(1-2am/x^2))<1/2であるからk=m-1、b=1のときに最小となる ④から、1/m<r<2/m+a m=2のとき、1<r<1+aとなり、rはa-1個存在する m>2のとき、1<r<=1+aとなり、rはa個存在する mは⑤の範囲をとるので (1)xが偶数のとき x^2/2+1<=m<=x、mの取り得る個数は-x^2/2+x この範囲でのrの取り得る個数の最大値は、a(-x^2/2+x) よって、⑥の範囲でpの取り得る値の個数の最小値P1(x)は P1(x)=x-a(-x^2/2+x)=x(a(x-2)+2)/2>0 (2)xが奇数のとき x^2/2+2<=m<=x、mの取り得る個数は-x^2/2+x-1 この範囲でのrの取り得る個数の最大値は、a(-x^2/2+x-1) よって、⑥の範囲でpの取り得る値の個数の最小値P2(x)は P2(x)=x-a(-x^2/2+x-1)=x(a(x-2)+2)/2+a>0 したがって、x^2+1<=n<=x^2+x-1の範囲に、少なくとも1個以上の素数が存在する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/72
192: １３２人目の素数さん [sage] 2016/09/19(月) 10:16:54.83 ID:WkXxCgES 「数学の問題」第３集、日本評論社 (1988)から 〔問題41〕 水平に一直線に伸びている線路の上を、一定の速度で走っている列車から、遥か遠方にある平行四辺形に建てられた煙突が見えました。(◇PQRS) 地点A、B、Dを通過した時刻を計ったら、下記の表のとおりでした。 --------------------------------------- A（PとRが重なって見える） 18:32 B（PとQ、RとSが重なって見える） 19:32 C（QとSが重なって見える） ？ D（QとR、SとPが重なって見える） 19:56 ---------------------------------------- ところが、あいにくCの地点では 、すれ違った列車に邪魔されて、通過時刻が計れませんでした。 しかしよく考えてみたら、点Cの位置は、4本の煙突が平行四辺形をなす限り一定であることが分かりました。 この事実を証明し、点Cを通過した時刻を求めて下さい。 ・文献 一松「数学100の問題」p.30-31 日本評論社 (1984) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/192
267: １３２人目の素数さん [sage] 2016/12/07(水) 22:44:39.55 ID:n5LgmO4O ２次正方行列 A、B がA^2 + B^2 = 2AB をみたすならば、AB=BA であることを示せ。 個人的には面白かった（苦労した）けど、どうかな？ エレガントな解法ないかなあ？ ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/267
272: １３２人目の素数さん [sage] 2016/12/08(木) 16:39:07.71 ID:qXH9jzFo >>270 行列AとBを交換して、式を書き換えることは可能で B^2 + A^2 = 2BA A^2 + B^2 = 2ABだから、AB = BA http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/272
305: １３２人目の素数さん [sage] 2016/12/18(日) 02:41:37.24 ID:DDIPLw4L >>304 Ａを n次正方行列とし、その固有多項式を f(t) =｜tＩ - Ａ|, とします。 Cayley-Hamiltonにより ｆ(Ａ) = O, Ａ^n = (Ａのn-1次以下の多項式） ただし、Ａ^0 = Ｉ. これを使って exp{Ａ} = Σ[k=0～∞) (1/k!)Ａ^k をＡの(n-1)次以下の多項式で表わす問題です。 Ａが2次のときは簡単で exp{Ａ} = (1/2)(e^α + e^β)Ｉ+ [(e^β - e^α)/(β-α)][Ａ - (1/2)(α+β)Ｉ] (α≠β) = e^α [(1-α)Ｉ + Ａ] (α=β) です。 ここにα、βは固有多項式 f(t) = tt - tr(Ａ)t + det(Ａ) の根です。 Ａが3次以上のときはどうなるでしょうか？ （注）Ａを対角化する方法は、固有ベクトルを求めねばならず、ひじょうに面倒です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/305
308: １３２人目の素数さん [sage] 2016/12/18(日) 23:21:03.30 ID:DDIPLw4L >>306-307 Lagrange-Sylvesterの補間式を使うといいらしい･･･ ・参考書 千葉克裕「行列の関数とジョルダンの標準形」【増補改訂版】サイエンティスト社（2010/June) 260p．2700円 http://www.scientist-press.com/14_294.html http://www.amazon.co.jp/dp/4860790391 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/308
317: １３２人目の素数さん [sage] 2016/12/20(火) 14:36:37.23 ID:9UZFmJjk >>305 の起源は、 〔補題〕 A, B が実対称行列のとき tr｛exp(A+B)｝≦ tr｛exp(A)exp(B)}, 等号成立は AB=BA のとき。 （京大RIMS元所長）荒木教授ご提出らしい。 数セミ増刊「数学の問題」第２集、日本評論社（1978) No.96 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/317
331: １３２人目の素数さん [sage] 2016/12/30(金) 09:22:32.17 ID:3xw/LRFD 指数行列とか、普通の線型代数の本には載ってないんよな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/331
346: １３２人目の素数さん [sage] 2017/01/02(月) 12:27:30.25 ID:gtCAemnU >>344 正解。 1002401=(49+1000i)(49-1000i)=(20+1001i)(20-1001i) と分解できるので (49+1000i)-(20+1001i)=29-i=(1+i)(14-15i) (49+1000i)+(20-1001i)=69-i=(1+i)(34-35i) 14^2+15^2=196+225=421 34^2+35^2=1156+1225=2381 と計算すれば、素因数の候補として421と2381が得られる。 あとは実際にこれらが素数であることを確認すれば終わり。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/346
362: １３２人目の素数さん [sage] 2017/01/09(月) 23:46:45.82 ID:heX4sXlu >>354 それって、素数を小さい方から順に並べた列を{p(n)}として、 Π[n=1,∞]p(n)/(p(n)-1) が収束するか否か、収束するならそれは100を超えるか という問題に帰結する気がする。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/362
379: １３２人目の素数さん [] 2017/01/12(木) 17:57:16.59 ID:KoI7U9S5 自分の中ではまだ未解決だけど投稿します n Σ(-1)^k･nCk･√k k=0 はn→∞で0に収束するか。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/379
387: １３２人目の素数さん [] 2017/01/19(木) 15:48:05.48 ID:8ENcHfIC >>379 の類題のうち自力で解決できた問題 n Σ(-1)^k･nCk･1/√(k+2) k=0 は n→∞ で0に収束するか。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/387
388: １３２人目の素数さん [sage] 2017/01/22(日) 03:33:49.40 ID:j1H92TDS >>387 1/√(k+2）＝(2/√π)∫(0～∞）e^{-(k+2)xx｝dx, (与式）＝（2/√π)∫(0～∞）e^(-2xx){1-e^(-xx)}^n dx, xx=y とおくと、 f(y)＝e^(-2y){1-e^(-y)}^n ＝(4/nn){(n/2)e^(-y)}^2･{1－e^(-y)}^n ≦(4/nn){n/(n+2)}^(n+2) ←相乗･相加平均 ＝{4/n(n+2)}{n/(n+2)}^(n+1) ＝f(y0) ≒4/{een(n+2)}, ∵ (1＋2/n)^((n+1)/2) ≒ｅ, f(y）は y0＝log((n+2)/2）にただ１つの極大をもつ。 その近傍を正確に求めるため、放物線→Gaussian で近似する。 f(y)≒f(y0){1－((n+2)/n)(y－y0)^2} ≒f(y0)ｅ^{－((n+2)/n)(y－y0)^2}, これをyで積分する（-∞～∞）と dx＝dy/(2√y)≒dy/(2√y0), (与式）≒ｆ(y0)/√{y0･(n+2)/n} ≒4/{ee(n+1)(n+2)√y0} → 0 (n→∞) 鞍点法、峠点法、WKB法とか云うのかな？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/388
435: １３２人目の素数さん [sage] 2017/02/14(火) 03:26:02.08 ID:3PjooF29 a[1]<a[2]<・・・を正の整数からなる無限列とする. 正の整数kに対してa[i]+a[j]=kを満たす組(i,j)のうち,i≦jであるものの個数をf(k),i<jであるものの個数をg(k)と表す. (1)f(n)≠f(n+1)を満たす正の整数nが無限個存在することを示せ. (2)g(n)≠g(n+1)を満たす正の整数nが無限個存在することを示せ. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/435
457: １３２人目の素数さん [] 2017/02/17(金) 00:58:24.76 ID:rkFHAkU2 m,kは非負整数とする (1) 8k+7は、3個の平方数の和として表せないことを示せ 逆は成り立たない（例えば28） (2) (4^m)(8k+7)は、3個の平方数の和として表せないことを示せ 逆も成り立つ（が証明は知らない） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/457
520: １３２人目の素数さん [sage] 2017/02/28(火) 19:52:13.90 ID:kXdyJKaI ちょっとした自作問題 (1) 0＜a_1≦a_2≦a_3≦… は実数の無限列であり、 Σ[n＝1～∞] 1 / a_n ＜ ＋∞ を満たすとする。 このとき、lim[n→∞] n / a_n ＝ 0 が成り立つことを示せ。 (2) (1)を用いて、Σ[n＝1～∞] 1/n ＝ ＋∞ が成り立つことを示せ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/520
589: １３２人目の素数さん [sage] 2017/04/02(日) 08:34:08.12 ID:ZC9upwmt 置かれた石によって分断された碁盤は、いくつかの小さな碁盤の集合と見なせる。 例えば20×1の碁盤の端から5番目の場所に石を置くと、 石を置ける場所が端から1～3番目の3ヶ所と7～20番目14ヶ所になるので、 3×1の碁盤と14×1の碁盤からなる集合となる。 これを単に{3,14}と表わすことにする。 >>587 初期状態が{20}の場合、先手がどう打っても 2手目で{3,11},{3,12},{7,7},{1,3,10},{2,3,9},{3,3,8},{4,5,5}のいずれかにでき、 4手目で{8},{1,7},{2,6},{2,7},{4,4},{5,5},{1,1,8},{1,3,5},{2,2,4},{3,3,4},{1,1,3,3},{1,2,3,3},{1,1,1,1,4}のいずれかにできる。 以下省略するが、これで後手必勝となる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/589
593: １３２人目の素数さん [sage] 2017/04/02(日) 11:39:01.55 ID:PMEV8D9U >>589 4手目で{1,3,5}のとき先手必勝じゃね？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/593
629: １３２人目の素数さん [sage] 2017/04/22(土) 19:46:36.56 ID:5NOd/v+A 三辺の辺長が全て有理数で面積が自然数の直角三角形のうち、周長が最小のものを見つけよ。 無理ならば、12より短いものをいくつか見つけよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/629
634: １３２人目の素数さん [sage] 2017/04/24(月) 02:20:25.30 ID:2d047hsf >>629 互いに素なピタゴラス数は、一般に 互いに素で偶奇の異なるm＞nなる自然数の組(m,n)を用いて (m^2+n^2, m^2-n^2, 2mn)と表される。 よって、３辺の長さがいずれも有理数の直角三角形の３辺は このm,nと自然数kを用いて ((m^2+n^2)/k, (m^2-n^2)/k, 2mn/k)と表せる このとき、周長はL=2m(m+n)/k ここで、面積をS=mn(m+n)(m-n)/k^2とおくと、 k^2=mn(m+n)(m-n)/S ∴ L^2=4Sm(m+n)/(n(m-n)) ここで、m>nより、x=m/n-1（＞0）とおくと L^2=4S(x+1)(x+2)/x=4S(3+x+2/x)≧4S(3+2√2) となる。（実際は、等号成立条件x=√2が成り立たないので、等号は成立しない） なお、面積Sが整数なので、k^2は1またはmn(m+n)(m-n)の平方因子である。 (m,n,k)=(2,1,1)のとき、S=6，L=12となる。 S≧7のとき、L＞√(28(3+2√2))=12.7748…なので、 L≦12となるためには、S≦6であることが必要条件となる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/634
644: １３２人目の素数さん [sage] 2017/04/25(火) 12:00:01.81 ID:EqKHfovF １５１９／４９２，４９２０／１５１９，３３４４１６１／７４７３４８。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/644
657: １３２人目の素数さん [sage] 2017/04/27(木) 19:29:02.13 ID:QgorJ0uU n個の自然数 a1, a2, …, an が f = 1/a1 + 1/a2 + …+ 1/an < 1 を満たしながら変化するとき、fの最大値を求めよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/657
684: １３２人目の素数さん [] 2017/05/03(水) 08:25:28.29 ID:CA3OuLpK nを自然数とする。以下のすべての条件を満たす自然数の組(a1,a2,・・・,an,b1,b2・・・,bn)の個数を求めよ。 •n≧a1≧a2≧・・・≧an≧1 •n≧b1≧b2≧・・・≧bn≧1 •a1≧b1,a2≧b2,・・・,an≧bn •a1≠1,a2≠2,・・・,an≠n •b1≠1,b2≠2,・・・,bn≠n http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/684
719: １３２人目の素数さん [sage] 2017/05/07(日) 23:20:54.52 ID:w0p+snB0 >>717 面積をS、周をL、r=S/Lとする。 円の場合も正方形そのものの場合もr=1/2だが、正方形の角をすこし切り取るとrは少し1/2より大きくなる。 （角を切り取って正８角形にしてしまうと同じくr=1/2となってしまうので、それよりも小さめに切り取る） 角から２辺がaの直角二等辺三角形を4つ切り取ることを考えると、 S=4-2a^2 L=8-(8-4√2)a これからrをaで微分して増減を調べると a=2+√2-2√(1+√2) でrは最大値 3+√2-(√2+2)√(√2+1)=0.5235… ただし、周が曲線になる場合や、さらに辺の数を多くする場合はよーわからん。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/719
781: １３２人目の素数さん [sage] 2017/05/24(水) 22:52:22.84 ID:jWr6jwLQ (1)平面上にOの文字を互いに交わらないように非可算個描くことは可能か？ (2)平面上にQの文字を互いに交わらないように非可算個描くことは可能か？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/781
797: １３２人目の素数さん [] 2017/05/25(木) 15:51:09.30 ID:MHIDXysu >>781 (2)不可能。証明の流れはこう 平面と(0,1)×(0,1)は同相なので、全てのQは X=[0,1]×[0,1] の中にあるとしてよい。 X上の空でない閉集合全体の集合をYとおく。 Y上の距離Dを次のように定める： D(A,B) := max( max_[a∊A] min_[b∊B] d(a,b) , max_[b∊B] min_[a∊A] d(a,b) ) (ただし d は通常の距離) この時、距離空間(Y,D)は第二可算公理を満たす。 X上に描かれた全てのQ全体の集合をPとおくと、 Pは非可算な離散集合となるが、これは(Y,D)の第二可算性と矛盾。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/797
867: １３２人目の素数さん [] 2017/06/02(金) 17:04:30.23 ID:d5iRJzZX (1) 連続する2個の自然数の積がn乗数にならないことを示せ。 (2) 連続するn個の自然数の積がn乗数にならないことを示せ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/867
924: １３２人目の素数さん [] 2017/06/09(金) 10:58:23.12 ID:wDnUTZ6a 1行整数問題詰め合わせ たぶん難易度順 m,nは自然数 (1) C[2015,n]が偶数になるnを求めよ。 (2) 全てのnに対してn^4+aが素数にならないような自然数aが無限に存在することを示せ。 (3) 2n-1,3n-1,5n-1のいずれかは平方数にならないことを示せ。 (4) a_n=2^n+3^n+6^n-1の全ての項と互いに素である自然数を求めよ。 (5) (n^3+1)/(mn-1)が整数となるm,nを求めよ。 (6) m,nに対してN=(m^2+n^2)/(mn+1)が自然数のとき、Nは平方数であることを示せ。 (7) (2^n+1)/n^2が自然数となるnを求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/924
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