Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (723ﾚｽ)
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1: １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 17:27:32.00 ID:JxJPBISF

（前“応援”スレが、1000又は1000近くになったので、新スレ立てる）
前スレ：Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 72
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721915133/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13
＜IUT最新文書＞
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
望月新一＠数理研
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
＜新展開＞
・2025年5月、中国の若手数学者の周中鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
・日仏遠アーベル共同研究 Arithmetic & Homotopic Galois Theory IRN https://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
://www.sankei.com/article/20240402-WNUUSYIAO5PRVNCBQSEEUETGMU/
産経 2024/4/2
宇宙際タイヒミューラー理論を提唱、望月新一氏らに賞金１０万ドル
同理論の発展に重要な貢献を果たした論文の執筆者に贈られる「ＩＵＴｉｎｎｏｖａｔｏｒ賞」の最初の受賞者として望月氏ら５人が選ばれ

://www3.nhk.or.jp/news/html/20230707/k10014121791000.html
NHK 数学「ABC予想」新たな証明理論の研究発展させる論文に賞創設 20230707
研究を発展させる論文を対象に、100万ドルの賞金を贈呈する賞が国内のIT企業の創業者によって創設されることになりました
▽新たな発展を含む論文を毎年選び、最大で賞金10万ドル
▽理論の本質的な欠陥を示す論文を発表した最初の執筆者に対しては100万ドル

://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
Anabelian Geometry and Representations of Fundamental Groups. Oberwolfach workshop  MFO-RIMS   Sep. 29-Oct. 4, 2024
Org.: A. Cadoret, F. Pop, J. Stix, A.. Topaz
（J. Stixさん、IUT支持側へ）

://collas.perso.math.cnrs.fr/documents/Collas-Anabelian%20Arithmetic%20Geometry-IUT.pdf
“ANABELIAN ARITHMETIC GEOMETRY - A NEW GEOMETRY OF FORMS AND NUMBERS: Inter-universal Teichmüller theory or “beyond Grothendieck’s vision” Benjamin Collas Version 11/15/2023”

このスレは、IUT応援スレとします。番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています。
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、実は 分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/1

627: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/13(水) 22:22:41.46 ID:w78+kS3p

>>626
(引用開始)
>グロタンディークを含む希代の天才数学者たちは、ZFCが狭いと思ったら 自分たちのやりたい数学ができるように ZFCに拡張してきたのです
>それは、当然 無限集合に対する操作であったり 無限の繰り返しであったりしたわけだ
無限回の繰り返しの例を示して。
ちなみに無限級数は無限回の足し算でないことは理解してる？
(引用終り)

すでに、>>610で 「選択公理」と 整列可能定理でしました
なお、関連で Georg Cantor en.wikipedia を引用しておく
ZFCより前の代の話だ
ZFCは、これら（Cantorやデデキントや、リーマンやコーシーら）の数学を公理化したもの
ついでに、ヒルベルトの無限ホテルを引用しておくよ（『その手順を無限に繰り返せることを示す』）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
Georg Cantor
Cantor established the importance of one-to-one correspondence between the members of two sets, defined infinite and well-ordered sets, and proved that the real numbers are more numerous than the natural numbers. Cantor's method of proof of this theorem implies the existence of an infinity of infinities.
Mathematical work
(google訳)
絶対無限、整列定理、そしてパラドックス
1883年、カントルは無限を超限と絶対の二つに分けた。[ 60 ]
超限は大きさを増加させることができるが、絶対は増加できない。例えば、順序数αはα+1まで増加できるため超限である。
一方、順序数は絶対的に無限の列を形成し、それより大きな順序数が存在しないため、大きさを増加させることはできない。[ 61 ]
1883年、カントールは「すべての集合は整列可能である」という整列原理を提唱し、これを「思考の法則」であると述べた。[ 62 ]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
無限個の客室があるホテルは「満室」でも（無限人の）新たな客を泊めることができ、その手順を無限に繰り返せることを示す。
パラドックスの内容
有限人の新たな客
1人の客が来てホテルに宿泊を希望したとする。そこで1号室の客を2号室に、2号室の客を3号室に、n号室の客を(n + 1)号室に（同時に）移動させる。すると1号室は空室になり、1人の客を泊めることができる。この手順を繰り返すことで、任意の有限人の新たな客の部屋を作れる。
以下略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/627

637: １３２人目の素数さん [] 2025/08/14(木) 10:52:36.75 ID:1dI79/KQ

>>571 補足
(引用開始)
>>499の 2017春(首都大東京) 薄葉季路（早大理工） 集合論の宇宙 -UniverseとMultiverse- (企画特別)
発表スライド『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf
における Multiverseの視点
(引用終り)

さて
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations. PDF (2020-04-22)
P67
Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species
The various ZFC-models that we work with may be thought of as [but are not restricted to be!] the ZFC-models determined by various universes that are sets relative to some ambient ZFC-model which, in addition to the standard axioms of ZFC set theory, satisfies the following existence axiom [attributed to the “Grothendieck school” — cf. the discussion of [McLn], p. 193]:
P85
[McLn] S. MacLane, One Universe as a Foundation for Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Mathematics 106, SpringerVerlag (1969).

この 望月先生のIUT IV でのP67 用語 universe それは [McLn] (1969) が根拠らしいが
その後、数学の中での議論がいろいろあり
検索結果を辿ると、20世紀末には 用語”Conglomerate (set theory)”：これは universeの内部で クラスの集まり（なお クラスは集合の集まり）
という用語が考えられているらしい
Inter-universe という用語が、やはり問題のような気がする 今日この頃

(参考)
google検索：
S. MacLane, One Universe as a Foundation for Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Mathematics 106, SpringerVerlag (1969)

AI による概要（AI responses may include mistakes）
In his work "One Universe as a Foundation for Category Theory", S. MacLane explores the use of a Grothendieck universe to provide a foundation for category theory, particularly when dealing with large categories. He proposes that adding the axiom of the existence of at least one Grothendieck universe to ZFC set theory offers a suitable framework for this purpose, according to Mathematics Stack Exchange.
https://math.stackexchange.com/questions/4871271/zfc-grothendieck-universes-vs-mac-lanes-one-universe （asked Feb 27, 2024 kaba ）

Here's a breakdown of the key points:
Grothendieck Universe:
A Grothendieck universe is a set U that satisfies certain properties, including being closed under power sets, unions, and Cartesian products, and containing all the natural numbers.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/637

638: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/14(木) 10:54:05.92 ID:1dI79/KQ

つづき

U-small vs. U-large:
In this context, a set is considered "U-small" if it belongs to the universe U, and "U-large" otherwise.

Foundation for Category Theory:
This approach allows for the construction of categories with large collections of objects and morphisms, which are essential for certain areas of category theory, without encountering Russell's paradox or other foundational issues.

Alternative to ZFC:
While ZFC (Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of choice) is a common foundation for mathematics, MacLane's proposal provides an alternative by using the concept of a Grothendieck universe.

Key Concepts:
The use of a Grothendieck universe allows for the development of concepts like small limits and colimits within the category of U-small sets, which are fundamental in category theory.
(引用終り)

https://handwiki.org/wiki/Conglomerate_(set_theory)
Conglomerate (set theory)
From HandWiki
In mathematics, a conglomerate is a collection of classes, just as a class is a collection of sets.[1] A quasi-category is like a category except that its objects and morphisms form conglomerates instead of classes.[1] The subclasses of any class, and in particular, the collection of all classes (every class is a subclass of the class of all sets), form a conglomerate.
References
1. Adamek, Jiri; Herrlich, Horst; Strecker, George (1990). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. Dover Publications. ISBN 978-0-486-46934-8.

https://en.wikipedia.org/wiki/Conglomerate_(mathematics)
Conglomerate (mathematics)
In mathematics, in the framework of one-universe foundation for category theory,[1][2] the term conglomerate is applied to arbitrary sets as a contraposition to the distinguished sets that are elements of a Grothendieck universe.[3][4][5][6][7][8]

Definition
The most popular axiomatic set theories, Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC), von Neumann–Bernays–Gödel set theory (NBG), and Morse–Kelley set theory (MK), admit non-conservative extensions that arise after adding a supplementary axiom of existence of a Grothendieck universe
U. An example of such an extension is the Tarski–Grothendieck set theory, where an infinite hierarchy of Grothendieck universes is postulated.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/638

639: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/14(木) 10:55:24.18 ID:1dI79/KQ

つづき

The concept of conglomerate was created to deal with "collections" of classes, which is desirable in category theory so that each class can be considered as an element of a "more general collection", a conglomerate. Technically this is organized by changes in terminology: when a Grothendieck universe
U is added to the chosen axiomatic set theory (ZFC/NBG/MK) it is considered convenient[9][10]
・to apply the term "set" only to elements of U,
・to apply the term "class" only to subsets of U,
・to apply the term "conglomerate" to all sets (not necessary elements or subsets of U).
As a result, in this terminology, each set is a class, and each class is a conglomerate.

Corollaries
Formally this construction describes a model of the initial axiomatic set theory (ZFC/NBG/MK) in the extension of this theory ("ZFC/NBG/MK+Grothendieck universe") with U as the universe.[1]: 195 [2]: 23

If the initial axiomatic set theory admits the idea of proper class (i.e. an object that can't be an element of any other object, like the class
Set of all sets in NBG and in MK), then these objects (proper classes) are discarded from the consideration in the new theory ("NBG/MK+Grothendieck universe").
However, (not counting the possible problems caused by the supplementary axiom of existence of U) this in some sense does not lead to a loss of information about objects of the old theory (NBG or MK) since its representation as a model in the new theory ("NBG/MK+Grothendieck universe") means that what can be proved in NBG/MK about its usual objects called classes (including proper classes) can be proved as well in "NBG/MK+Grothendieck universe" about its classes (i.e. about subsets of U, including subsets that are not elements of U, which are analogs of proper classes from NBG/MK). At the same time, the new theory is not equivalent to the initial one, since some extra propositions about classes can be proved in "NBG/MK+Grothendieck universe" but not in NBG/MK.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/639

640: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/14(木) 10:55:46.34 ID:1dI79/KQ

つづき

Terminology
The change in terminology is sometimes called "conglomerate convention".[7]: 6  The first step, made by Mac Lane,[1]: 195 [2]: 23  is to apply the term "class" only to subsets of U.
{\displaystyle U.} Mac Lane does not redefine existing set-theoretic terms; rather, he works in a set theory without classes (ZFC, not NBG/MK), calls members of U "small sets", and states that the small sets and the classes satisfy the axioms of NBG. He does not need "conglomerates", since sets need not be small.

The term "conglomerate" lurks in reviews of the 1970s and 1980s on Mathematical Reviews[11] without definition, explanation or reference, and sometimes in papers.[12]

While the conglomerate convention is in force, it must be used exclusively in order to avoid ambiguity; that is, conglomerates should not be called “sets” in the usual fashion of ZFC.[7]: 6

References
1. Mac Lane, Saunders (1969). "One universe as a foundation for category theory". Reports of the Midwest Category Seminar III. Lecture Notes in Mathematics, vol 106. Vol. 106. Springer, Berlin, Heidelberg. pp. 192–200.

＜付録＞
The Geometry of Anabelioids J-Stage
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kyotoms1969/40/3/40_3_819/_article/-char/ja/
S Mochizuki 著 · 2004 · 被引用数: 26 — [McLn1] MacLane, S., One Universe as a Foundation for Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Math. 106, Springer-
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/640

643: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/14(木) 13:36:05.27 ID:1dI79/KQ

>>638
(引用開始)
https://handwiki.org/wiki/Conglomerate_(set_theory)
Conglomerate (set theory)
From HandWiki
In mathematics, a conglomerate is a collection of classes, just as a class is a collection of sets.[1]
A quasi-category is like a category except that its objects and morphisms form conglomerates instead of classes.[1]
The subclasses of any class, and in particular, the collection of all classes (every class is a subclass of the class of all sets), form a conglomerate.
References
1. Adamek, Jiri; Herrlich, Horst; Strecker, George (1990). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. Dover Publications. ISBN 978-0-486-46934-8.
(引用終り)

＜google訳＞
数学において、conglomerateはクラスのcollectionであり、クラスは集合のcollectionである。[1]
quasi-categoryはカテゴリに似ているが、そのオブジェクトと射がクラスではなくconglomerateを形成する点が異なる。[1]
任意のクラスのサブクラス、特にすべてのクラスの集合（すべてのクラスはすべての集合のクラスのサブクラスである）は conglomerateを形成する。
References
略
(google訳終り)

このFrom HandWiki の用語を借りれば
大きな Grothendieck Universeがあって
その中に conglomerate ＞ クラス(class) ＞ 集合(set)
という collection の大きさの違いが 存在する

この（21世紀の用語の）視点では、Grothendieck Universe は、One Universe で
Inter-universal 宇宙間 というのは、conglomerate あるいは クラス(class)
で収まるだろう

薄葉季路先生の 『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』>>637
と比較して、望月用語”宇宙”は ちょっと 大げさ （それは Grothendieckの時代(1960年代)は それでよかったとしても）

そこらは、本当は 加藤さんあたりが 整理してほしいところです

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/643

645: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/14(木) 14:44:11.01 ID:1dI79/KQ

>>644
望月IUTは、本質的に グロタンディークの圏論幾何 ＝遠アーベル幾何学 に立脚する
それに対して、単なる集合論とか 推論規則 ウンヌンカンヌンの批判は 的外れ
下記を、百回音読してね　（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96
圏論
数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つである。サミュエル・アイレンベルグ と ソーンダース・マックレーンとによって代数的位相幾何学の基本的仕事の中で20世紀中ごろに導入された。圏論において考察の対象となる圏は対象とその間の射からなる構造であり、集合とその間の写像、あるいは要素とその間の関係（順序など）が例として挙げられる。
数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。圏論的な定式化によって同種のほかの対象たちとの、内部の構造に言及しないような形式的な関係性や、別の種類の数学的な対象への関連づけなどが統一的に記述される。
歴史
19世紀はじめのエヴァリスト・ガロアによる代数方程式に群を関連づける研究には圏論的な考え方の萌芽がみられる[要出典]。20世紀前半にはエミー・ネーターが抽象代数学（特に加群の理論）の形式化を行い、ネーターはある種の数学的構造を理解するためには、その構造を保つ対応関係を理解する必要があることを悟っていた[要出典]。1930年代後半から始まるニコラ・ブルバキの数学原論シリーズにおける集合論に基づいた数学の再構成の試みの中でも、構造、構造種と普遍性の概念が指導原理として取り上げられている[要出典]。
圏や関手、自然変換といったアイデアは代数的位相幾何学、特にホモロジー代数の研究から生まれた[1]。
その後 1950年代から 1960年代にかけてこの理論は、ホモロジー代数における様々な計算の抽象的な定式化を取り込むことによって、続いて、集合論に基づく定式化では不十分だった代数幾何学の公理化を与える言葉として進展した。さらに一般的な圏論、つまり、意味論的な柔軟性をもち高階論理との親和性があるようなより現代的な普遍的代数が発展し、現在では数学全体を通して応用されている。
20 世紀の半ば以降アレクサンドル・グロタンディークらによって代数幾何学の圏論的な定式化が追求された

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/645

646: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/14(木) 14:44:31.56 ID:1dI79/KQ

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
圏 (数学)
圏論において中核的な概念を成す圏（けん、英: category）は、数学的構造を取り扱うための枠組みであり、数学的対象をあらわす対象とそれらの間の関係を表す射の集まりによって与えられる。圏はそれ自体、群に類似した代数的構造として理解することができる。
空間を圏で表す
位相空間 X に対してその開集合系 O(X) を圏と見なすことができる。
G が群のとき、対象 Y ただ 1 つからなり、Hom (Y, Y) ≡ G であるような圏を G と同一視することができる。また、位相空間の基本亜群や「被覆」のホロノミー亜群など、様々な亜群による幾何学的な情報の定式化が得られている。
歴史
アレクサンドル・グロタンディークらによるホモロジー・コホモロジー理論を圏論に基づいて定式化する試みの中で、アーベル圏・三角圏など、関手を計算するうえで期待される重要な性質を持つクラスの圏が公理化されていった。一方、ガロア理論の圏論化を通じ、群が作用する集合の圏と通常の位相空間を圏論の枠組みで包括的にとらえるようなトポスの概念が得られた

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%A0%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
遠アーベル幾何学
代数多様体 V 上の代数的基本群 G や関連する幾何学的対象を記述する
数体とその絶対ガロア群の初期の結果は、アレクサンドル・グロタンディークによる数体の双曲線[1]についての予想に先立ち、ユルゲン・ノイキルヒ、ギュンデュズ・イケダ、岩澤健吉、内田興二（ノイキルヒ・内田の定理）によって得られていた。
単語としての「遠アーベル」はアーベルに否定の接頭辞 an がついたもので、1980年代のグロタンディークの有名な著作である「Esquisse d'un Programme」で導入された[2]。]望月新一はいわゆる単(mono-)遠アーベル幾何学を導入および発展させた[4]。それは、数体または他のいくつかの体にわたる特定のクラスの双曲的曲線について、その代数的基本群からその曲線を復元するものである。単遠アーベル幾何学の主要な結果は望月の「絶対遠アーベル幾何学」などにある[5][6]。
遠アーベル幾何学は、類体論の一般化の1つと見なすことができる。 他の2つの一般化（高次アーベル類体論と、表現理論的ラングランズ・プログラム）とは異なり、遠アーベル幾何学は非常に非線形でnon-アーベルである[7]
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/646

649: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/14(木) 17:29:05.59 ID:1dI79/KQ

>>647-648
ふっふ、ほっほ

ID:/DikW1nE君と ID:wLpg/jrm君とか
下記『君たちはどう生きるか』という 映画や本やコミックがあるそうな
スタジオジブリ版は、太平洋戦争中の話にしたらしい
そういえば、明日8月15日は 終戦の日だ

で、お二人は 数学科でオチコボレさんか？ｗ　（＾＾
人のことが気になって 気になって 仕方ないらしいなｗ
きっと 不遇なんだろうね
必死で、人にマウントしたいんだね
下衆な根性が まるわかり だよｗ

ここはさ、IUTスレなんであって
IUTについて 語るべきところ
君たちは 語るべき何もない オチコボレさんｗｗ　；ｐ）
あわれだねｗｗｗ
下記の『君たちはどう生きるか』を 百回音読してねｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%9B%E3%81%9F%E3%81%A1%E3%81%AF%E3%81%A9%E3%81%86%E7%94%9F%E3%81%8D%E3%82%8B%E3%81%8B_(%E6%98%A0%E7%94%BB)
君たちはどう生きるか (映画)
『君たちはどう生きるか』（英語: The Boy and the Heron）は、2023年7月14日に公開されたスタジオジブリ制作[注釈 1]の日本のアニメーション映画。宮崎駿の原作・脚本・監督による冒険活劇ファンタジーで[5]、宮崎の長編監督作としては2013年公開の『風立ちぬ』以来10年ぶりの作品となる。タイトルは、吉野源三郎の同名小説『君たちはどう生きるか』に由来しており、原作ではないが同小説が主人公にとって大きな意味を持つ[6]。
太平洋戦争中、母親の死をきっかけに田舎に疎開した眞人という少年が、新居の近くで廃墟となった塔を発見し、人間の言葉を話す謎の青サギと出会い、彼と共に幻想的な「下の世界」へと足を踏み入れるストーリー。
2023年9月に開催された北米最大の映画祭である第48回トロント国際映画祭で日本映画史上初となるオープニング作品となり、観客賞の次点第2位となる。翌年にはゴールデングローブ賞と英国アカデミー賞で日本映画史上初となるアニメ映画賞を連続して受賞し、日本時間で2024年3月11日[注釈 2]に授賞式が行われた第96回アカデミー賞で、日本映画としては『千と千尋の神隠し』以来21年ぶりとなる[7]アカデミー長編アニメ映画賞を受賞した。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%9B%E3%81%9F%E3%81%A1%E3%81%AF%E3%81%A9%E3%81%86%E7%94%9F%E3%81%8D%E3%82%8B%E3%81%8B
君たちはどう生きるか
『君たちはどう生きるか』は、1937年初出版の吉野源三郎による日本の小説。コペルというあだ名の15歳の少年・本田潤一とその叔父が、精神的な成長、貧困、人間としての総合的な体験と向き合う姿を描く。
当初『日本少国民文庫』第5巻として編纂代表の山本有三自身が執筆する予定であったが、病身のため代わって吉野が筆をとることになったとされる[3]。初刊は1937年に新潮社で出版、戦後になって語彙を平易にするなどの変更が加えられ、ポプラ社や岩波書店で出版された[4]。新潮社版も度々改版され長年重版した。
児童文学の形をとった教養教育の古典としても知られる[5]。
2017年には羽賀翔一による漫画化『漫画 君たちはどう生きるか』がマガジンハウスから出版され、2018年3月には累計200万部を突破した[6]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/649

663: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/14(木) 20:16:53.15 ID:2VGqjZuN

>>633
>無限回の繰り返しが完了するなら矛盾だから完了しない。完了しない繰り返しはwell-definedでない。

やれやれ、古代ギリシャの"無限"議論で 時計が止まっているよ 数学科オチコボレさんは
”ゼノンのパラドックス アキレスと亀”(下記)から進歩していないね
（当然ながら、古代ギリシャでは 無限についての理解は不十分だった）

ここは、中高一貫校生も来る可能性があるから ハッキリさせておくが
下記の 重川一郎 確率論基礎 P7 サイコロ投げの場合の確率空間を見てね
これは 京都大学での数学の講義だ
P6 ”σ集合体では加算個の演算が自由にできる”とあるよね
ここでの サイコロ投げは 当然可算無限回であって 下記の重川の定義は有限ではない！！
だって、京都大学だものｗｗ　；ｐ）
まあ、数学科オチコボレさんには これは理解できないよねｗ
（「箱入り無数目」スレでの トンチンカン振りをみれば それがよく分るｗｗ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%8E%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ゼノンのパラドックス
アリストテレスが『自然学』の中で、ゼノンに対する反論として引用した議論が、比較的詳しいものであり、重要なものとして取り上げられてきた
アキレスと亀
スタート後、アキレスが地点Aに達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる（地点B）。アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む（地点C）。同様にアキレスが地点Cの時には、亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない。

https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/index_j.html
重川一郎
講義ノート
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/lectures/2013bpr.pdf
確率論基礎
重川一郎 平成26年8月11日
P6
確率空間
基本的にσ集合体では加算個の演算が自由にできる．確率論では可測空間に，確率を付加したものを考える．
Ｐ7
例1.1 サイコロ投げの場合確率空間として次のものを準備すればよい．
Ω＝{1,2,・・・,6}^N ∋ω＝(ω1,ω2,・・・)
ωnは、1,2,・・・,6のいずれかで，n回目に出た目を表す
これが実際にσ-加法的に拡張できることは明らかではないが，Kolmogorov
の拡張定理と呼ばれる定理により証明できる．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/663

671: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 07:29:17.25 ID:psDSFTci

>>636
>ついでにいうと可算選択公理では可算集合の整列はできない
>なぜなら可算集合の空でない部分集合の全体は、非可算集合だから
>ただし、別のやり方で整列はできる
>可算＝自然数の全体との全単射が存在する
>ということだから、この全単射を使えばいい

そこ 意味不明だよ
ここは、中高一貫校生が来る可能性があるので
赤ペン先生をしておく

１）下記 可算選択公理 Axiom of countable choice ACω は
　”Application of ACω yields a sequence (Bn) n∈N ”
　つまり ω長さの sequence (Bn) n∈N を作る能力がある
２）一方 Axiom of dependent choice DC は 下記
　”The axiom of dependent choice implies the axiom of countable choice and is strictly stronger.[4][5]
　It is possible to generalize the axiom to produce transfinite sequences.
　If these are allowed to be arbitrarily long, then it becomes equivalent to the full axiom of choice.”
３）要するに、DC は ACωより強力で ωを超えて ”produce transfinite sequences”だ
　また ”If these are allowed to be arbitrarily long, then it becomes equivalent to the full axiom of choice.”
　ってこと。つまりは、種々の選択公理の能力は、生成できる列長さで 測ることができる■

なお、下記”every countable collection of non-empty sets must have a choice function. ”
において ”collection of non-empty sets”の素性は不問
可算の集合の collectionであれ、非可算の集合の collectionであれ なんであれ 無問題
問題は ”countable collection”のところ
collectionが 非可算だと 可算選択公理の守備範囲外
下記を百回音読してね　；ｐ）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice
The axiom of countable choice or axiom of denumerable choice, denoted ACω, is an axiom of set theory that states that every countable collection of non-empty sets must have a choice function.
Applications
ACω is particularly useful for the development of mathematical analysis, where many results depend on having a choice function for a countable collection of sets of real numbers.
Example: infinite implies Dedekind-infinite
As an example of an application of ACω, here is a proof (from ZF + ACω) that every infinite set is Dedekind-infinite:[2]
Let X be infinite. For each natural number n, let An be the set of all n-tuples of distinct elements of X.
Since X is infinite, each An is non-empty.
Application of ACω yields a sequence (Bn) n∈N where each Bn is an n-tuple.
One can then concatenate these tuples into a single sequence (bn)n∈N of elements of X, possibly with repeating elements.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/671

672: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 07:30:11.74 ID:psDSFTci

つづき

Weaker systems
Paul Cohen showed that ACω is not provable in Zermelo–Fraenkel set theory (ZF) without the axiom of choice.[6] However, some countably infinite sets of non-empty sets can be proven to have a choice function in ZF without any form of the axiom of choice.
For example, Vω∖{∅} has a choice function, where Vω is the set of hereditarily finite sets, i.e. the first set in the Von Neumann universe of non-finite rank.
The choice function is (trivially) the least element in the well-ordering.
Another example is the set of proper and bounded open intervals of real numbers with rational endpoints.
ZF+ACω suffices to prove that the union of countably many countable sets is countable. These statements are not equivalent: Cohen's First Model supplies an example where countable unions of countable sets are countable, but where ACω does not hold.[7]

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice
Axiom of dependent choice
In mathematics, the axiom of dependent choice, denoted by
DC, is a weak form of the axiom of choice (AC) that is still sufficient to develop much of real analysis. It was introduced by Paul Bernays in a 1942 article in reverse mathematics that explores which set-theoretic axioms are needed to develop analysis.[a]
Relation with other axioms
Unlike full AC, DC is insufficient to prove (given ZF) that there is a non-measurable set of real numbers, or that there is a set of real numbers without the property of Baire or without the perfect set property. This follows because the Solovay model satisfies ZF+DC, and every set of real numbers in this model is Lebesgue measurable, has the Baire property and has the perfect set property.
The axiom of dependent choice implies the axiom of countable choice and is strictly stronger.[4][5]
It is possible to generalize the axiom to produce transfinite sequences.
If these are allowed to be arbitrarily long, then it becomes equivalent to the full axiom of choice.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice; DCと略される)
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/672

675: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 07:51:14.19 ID:psDSFTci

>>664-670
ここは、中高一貫校生が来る可能性があるので
書いておくが　；ｐ）

>>”σ集合体では加算個の演算が自由にできる”
>加算個は可算個の誤記として、

そこね >>663 確率論基礎 重川 P6からの転記だが
重川先生の誤記だね。教えてあげると 喜ぶだろう　（＾＾

さて、下記 確率の公理 にその答えの記述がある
百回音読してね
なお、『簡単な例：コイントス』があるよね
コイン投げの可算回も可！！！ｗｗｗ ；ｐ）
サイコロ投げも 同じだ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
確率の公理
コルモゴロフの公理は、1933年にアンドレイ・コルモゴロフが導入した、確率論の基礎となる公理である[1]
コルモゴロフによる公理系
略
公理5と6より、次の一般化加法定理（完全加法牲）が導かれる[7]。
一般化加法定理
集合列
{An}n∈N は、互いに素であり、
⋃n=1〜∞An∈Fならば、
P(⋃i=1〜∞Ai)=?i=1〜∞P(Ai).
一般化加法定理を満たす
P は、F が生成する完全加法族（σ-集合体）上の非負かつ完全加法的な集合関数に一意的に拡張可能である[8]。
簡単な例：コイントス
一回のコイントスを考え、コインが表 (H) または裏 (T) のいずれかで着地するものとする（両方は起きえない）。コインが公正であるかどうかに関して仮定はしない。
略
上記の通り、表の確率と裏の確率の合計は1である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%8A%A0%E6%B3%95%E6%97%8F
完全加法族
完全加法族（英: completely additive class [of sets], completely additive family [of sets]）とは、主な用途として測度を定義することに十分な特定の性質を満たす集合の集合である。特に測度が定義される集合全体を集めた集合族は完全加法族になる。

可算加法族（英: countably additive class [of sets], countably additive family [of sets]）、(σ-)加法族（（シグマ）かほうぞく、英: σ-additive family [of sets]）、σ-集合代数（シグマしゅうごうだいすう、英: σ-algebra [of subsets over a set], σ-set algebra）、σ-集合体（シグマしゅうごうたい、英: σ-field [of sets]）[注 1]ともいう。

この概念は、解析学ではルベーグ積分に対する基礎付けとして重要であり、また確率論では確率の定義できる事象全体の成す族として解釈される。完全加法族を接頭辞「完全」を付けずに単に「加法族」と呼ぶことも多い（つまり、有限加法族の意味ならば接頭辞「有限」を省略しないのがふつう）ので注意が必要である[1]。

いくつかの等価な定義がある。
略
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/675

682: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 08:12:01.82 ID:psDSFTci

>>674
>灘も甲陽学院も落ちてクソ公立中クソ公立高にしかいけなかった高卒ホモは嘘指導で大恥かく

神戸の小学校時代 灘の難しさは すでに有名だった（実話として 私の叔父が公立中から灘高校へ入って すごいと言われた）
小学校で一人通るか通らないか と当時言われていた（いまは全国区らしい。当時は 地方区）
私の小学校からは 受験する人は居なかったと思う

中学校で、2年で同級生になった子が クラスで1番で 学年でもトップクラスで
噂では 灘中を落ちて 進学は灘高を狙っていると言われた
（のち 灘高は受からず 公立のナンバーワン高へ）

私が高校に入学して、入試で一番の子と同級生
噂では、その子は 灘を落ちて この高校に来たという
もう一人別に、凄くできる子がいて、全国模試で常に上位で 東大合格圏（学年ではほとんどトップ）
その子は 東大法学部に入った。あとで聞くと、その子も 灘におちて 公立校に来たらしい
灘高生でも 東大法学部おちる人いるから まあ 公立校周り道もありだろう

私？ 私立の中や高はお金かかるし 家から遠い
考えたことも無かったが、成績でも とても灘とかのレベルではなかったね ；ｐ）

>　DCはACωから導けない　と白状する正真正銘の白知

ふっふ、ほっほｗｗ　；ｐ）
下記
”従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[5][6]”だってよ
文献[5][6]を 百回音読してねｗ　；ｐ）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice; DCと略される)
他の公理との関連
完全な ACと違って、DCは(ZFの下で) 実数の不可測集合やベールの性質を持たない集合や perfect set property を持たない集合の存在を証明するのに不十分である。これはソロヴェイモデルにおいては ZF+DCが成り立ちながら実数の集合が全てルベーグ可測でベールの性質を持ち perfect set property を持つからである。
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[5][6]
参考文献
5.^ ベルナイスが従属選択公理から可算選択公理が導かれることを証明した。参照: p. 86 in Bernays, Paul (1942). “Part III. Infinity and enumerability. Analysis.”. Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory 7 (2): 65–89. doi:10.2307/2266303. JSTOR 2266303. MR0006333.
6.^ 可算選択公理が従属選択公理を導かないことの証明は次のものを参照: Jech, Thomas (1973), The Axiom of Choice, North Holland, pp. 130–131, ISBN 978-0-486-46624-8

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/682

688: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 14:15:00.08 ID:psDSFTci

>>683
>「σ集合体において可算個の演算が自由にできる」
>「演算」とは集合の合併∪と交叉∩を指す。
>「数学において無限回の操作の繰り返しは許されない」に対する反例としてσ集合体を持ち出すのはまったくトンチンカン。

ゴキブリくんは、そういう粗雑な頭だから 数学科のオチコボレさんなのだｗ
そもそも

１）例えば 下記 古代ギリシャのアキレスと亀においては、無限というものが 十分理解できていないから
　パラドックスに見えたが、現代数学の視点からは 幾通りかの数学的な解が可能
　その一つが、無限回の演算を認めることだ
　つまり、『アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む（地点C）』
　これを 無限回繰り返して良い と すれば パラドックスに見えたが その実”無限回の演算”について
　例えば 極限 として定義すれば 良いだけのこと（これは 21世紀では ほんの一つの解釈にすぎない）
２）つまりは、「数学において無限回の操作の繰り返しは許されない」は 古代ギリシャ時代の話だ
　これ対する反例は、21世紀 現代数学ではいくらでもある
　単に一つの反例が上記の 極限と解釈する方法だし
　あるいは、上記の「σ集合体において可算個の演算が自由にできる」の話だ
　測度論による確率で σ集合体を使うと 無限回のコイン投げやサイコロ投げの確率を扱える
　つまり、「数学において無限回の操作の繰り返しは許されない」の反例の一つだ
３）他にも いろいろあるが 例えば下記のオイラー積がある
　下記”ディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積”
　左辺をディリクレ級数、右辺を無限積として もし ディリクレ級数が有限和であったり
　あるいは 無限積が有限で打ち切られたら？ 有限演算限定では 左辺＝右辺 の等号は不成立！■
　（なお、これが リーマン予想に直結することは ご存知の通り（下記小山））

(参考)>>663より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%8E%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ゼノンのパラドックス
アキレスと亀
スタート後、アキレスが地点Aに達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる（地点B）。アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む（地点C）。同様にアキレスが地点Cの時には、亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%A9%8D
オイラー積（英: Euler product）はディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積である。ディリクレ級数の一種のリーマンのゼータ関数についてこの無限積が成り立つことを証明した18世紀の数学者レオンハルト・オイラーの名前にちなむ

https://researchmap.jp/koyama/published_papers/16345243/attachment_file.pdf
深リーマン予想 researchmap 小山信也 2019 数理科学
— ちょうど当時，黒川氏も木村氏と独立に臨界領. 域内のオイラー積を研究しており，黒川氏は，そ. の予想を「深リーマン予想」と名付け，解説書 4). を著した

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/688

695: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 20:12:49.81 ID:psDSFTci

>>690-691
>>３）他にも いろいろあるが 例えば下記のオイラー積がある
>>　下記”ディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積”
>無限回の操作の繰り返しは well-defined でないことがどうしても理解できないオチコボレ君

やれやれ
数学科1年の1日目で 目を白黒させて オチコボレさんになった人よ
そういう 固い頭だから ダメなんじゃないの？
現代数学は、いくつかの 無限回の操作の繰り返しを well-defined にできる
そう考える方が 現代数学 を深く理解できるよ
例えば、下記のゼータ関数のオイラー積 高校数学の美しい物語 などな　（＾＾
百回音読してね ；ｐ）

(参考)
https://manabitimes.jp/math/2836
高校数学の美しい物語
ゼータ関数のオイラー積  2023/09/04
目次
証明のスケッチ
応用
素数の無限性の証明
オイラー積表示によって素数が無限個あることが証明できます。
メビウス関数との関連
ウォリス積との類似

https://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/03/30/172641
tsujimotterのノートブック
2014-03-30
ゼータ関数のオイラー積
オイラー積とは
レオンハルト・オイラーといえば世界一美しい公式と呼ばれる「オイラーの公式」が有名ですが、私が一番好きなのは次のオイラー積と呼ばれる公式です。
オイラー積（完全版）
略す
左辺が「1以上のすべての整数を使った和」となっており、右辺が「すべての素数を使った積」となっています。右辺が積の形をしているのでオイラー積と呼ばれます。
ポイントは「すべての整数」「すべての素数」を漏れなくだぶりなく使っている点で、まさに整数と素数をつなぐ架け橋になっているといえます。筆者はこのコンセプトが大好きです。
オイラー積の導出方法
略
素因数分解の一意性
ここで使っているのは、ただ一点、「素因数分解の一意性」です。
この「素因数分解の一意性」という整数の当たり前の性質を使っておきながら、それを的確な式の表現に落とすことで、誰も見たことない結果を生み出してしまう、というやり方が鮮やか
おわりに
ゼータ関数のオイラー積という美しい式を紹介しました。この式は「整数の和と素数の積に変換する」という一貫したコンセプトを持っていたのです。
しかもその導出は、「素因数分解の一意性」という整数の根源的な性質を用いるという、とびきり鮮やかなものでした。
オイラーがゼータ関数に着目したのは、素数の性質を探るためだと言われています。実際、オイラーはこの式から「素数の逆数の和が発散する」ことを示しています。いつかこの方法についても紹介したいですね。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/695

697: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 20:35:18.54 ID:psDSFTci

>>691
>>例えば 下記 古代ギリシャのアキレスと亀においては、無限というものが 十分理解できていないから
>無限を理解できていないのは、無限回のサイコロ投げはいつか終わると思ってる君。
>いつか終わるならそれは無限回ではなく有限回。

現代数学は、いくつかの 無限回の操作の繰り返しを well-defined にできる
そう考える方が 現代数学 を深く理解できるよ

例えば、下記の重川一郎 確率論基礎 P47 ランダム・ウォーク より
"定義1.1 時間t∈T をパラメーターとして持つ確率変数の族(Xt)を確率過程という．
T として[0,∞）,Z+＝{0,1,2,・・・}などがよく使われる．
[0,∞）のとき連続時間，Z+のとき離散時間という．"

いま、簡単に 確率変数 Xtが 0 又は 1の値を 各1/2の確率で取るとする
これは コイン投げと同じ事象だ。それで  パラメーターt で 連続として
0〜100秒を考える。連続だから、この時間内で 可算無限個の t1,t2,・・・
のサンプリングが考えられる。これは コイン投げを可算無限行ったことに等しい

同じことを Xtが {1,2,3,4,5,6}の6つの値を 各1/6で取る 確率過程を考えることが可能
コイン投げと同様に、可算無限個の t1,t2,・・・のサンプリングが考えられる
これは サイコロ投げを可算無限行ったことに等しい■

>>663より再録
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/index_j.html
重川一郎
講義ノート
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/lectures/2013bpr.pdf
確率論基礎
重川一郎 平成26年8月11日
P6
確率空間
基本的にσ集合体では可算個の演算が自由にできる．確率論では可測空間に，確率を付加したものを考える．
Ｐ7
例1.1 サイコロ投げの場合確率空間として次のものを準備すればよい．
Ω＝{1,2,・・・,6}^N ∋ω＝(ω1,ω2,・・・)
ωnは、1,2,・・・,6のいずれかで，n回目に出た目を表す
これが実際にσ-加法的に拡張できることは明らかではないが，Kolmogorov
の拡張定理と呼ばれる定理により証明できる．

P47
第4章ランダム・ウォーク
この章では，最も簡単な確率過程としてランダム・ウォークを扱う．
1.単純ランダム・ウォーク
単純ランダム・ウォーク
定義1.1 時間t∈T をパラメーターとして持つ確率変数の族(Xt)を確率過程という．
T として[0,∞）,Z+＝{0,1,2,・・・}などがよく使われる．
[0,∞）のとき連続時間，Z+のとき離散時間という．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/697

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