Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (765ﾚｽ)
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1: １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 17:27:32.00 ID:JxJPBISF

（前“応援”スレが、1000又は1000近くになったので、新スレ立てる）
前スレ：Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 72
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721915133/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13
＜IUT最新文書＞
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
望月新一＠数理研
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
＜新展開＞
・2025年5月、中国の若手数学者の周中鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
・日仏遠アーベル共同研究 Arithmetic & Homotopic Galois Theory IRN https://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
://www.sankei.com/article/20240402-WNUUSYIAO5PRVNCBQSEEUETGMU/
産経 2024/4/2
宇宙際タイヒミューラー理論を提唱、望月新一氏らに賞金１０万ドル
同理論の発展に重要な貢献を果たした論文の執筆者に贈られる「ＩＵＴｉｎｎｏｖａｔｏｒ賞」の最初の受賞者として望月氏ら５人が選ばれ

://www3.nhk.or.jp/news/html/20230707/k10014121791000.html
NHK 数学「ABC予想」新たな証明理論の研究発展させる論文に賞創設 20230707
研究を発展させる論文を対象に、100万ドルの賞金を贈呈する賞が国内のIT企業の創業者によって創設されることになりました
▽新たな発展を含む論文を毎年選び、最大で賞金10万ドル
▽理論の本質的な欠陥を示す論文を発表した最初の執筆者に対しては100万ドル

://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
Anabelian Geometry and Representations of Fundamental Groups. Oberwolfach workshop  MFO-RIMS   Sep. 29-Oct. 4, 2024
Org.: A. Cadoret, F. Pop, J. Stix, A.. Topaz
（J. Stixさん、IUT支持側へ）

://collas.perso.math.cnrs.fr/documents/Collas-Anabelian%20Arithmetic%20Geometry-IUT.pdf
“ANABELIAN ARITHMETIC GEOMETRY - A NEW GEOMETRY OF FORMS AND NUMBERS: Inter-universal Teichmüller theory or “beyond Grothendieck’s vision” Benjamin Collas Version 11/15/2023”

このスレは、IUT応援スレとします。番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています。
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、実は 分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/1

671: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 07:29:17.25 ID:psDSFTci

>>636
>ついでにいうと可算選択公理では可算集合の整列はできない
>なぜなら可算集合の空でない部分集合の全体は、非可算集合だから
>ただし、別のやり方で整列はできる
>可算＝自然数の全体との全単射が存在する
>ということだから、この全単射を使えばいい

そこ 意味不明だよ
ここは、中高一貫校生が来る可能性があるので
赤ペン先生をしておく

１）下記 可算選択公理 Axiom of countable choice ACω は
　”Application of ACω yields a sequence (Bn) n∈N ”
　つまり ω長さの sequence (Bn) n∈N を作る能力がある
２）一方 Axiom of dependent choice DC は 下記
　”The axiom of dependent choice implies the axiom of countable choice and is strictly stronger.[4][5]
　It is possible to generalize the axiom to produce transfinite sequences.
　If these are allowed to be arbitrarily long, then it becomes equivalent to the full axiom of choice.”
３）要するに、DC は ACωより強力で ωを超えて ”produce transfinite sequences”だ
　また ”If these are allowed to be arbitrarily long, then it becomes equivalent to the full axiom of choice.”
　ってこと。つまりは、種々の選択公理の能力は、生成できる列長さで 測ることができる■

なお、下記”every countable collection of non-empty sets must have a choice function. ”
において ”collection of non-empty sets”の素性は不問
可算の集合の collectionであれ、非可算の集合の collectionであれ なんであれ 無問題
問題は ”countable collection”のところ
collectionが 非可算だと 可算選択公理の守備範囲外
下記を百回音読してね　；ｐ）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice
The axiom of countable choice or axiom of denumerable choice, denoted ACω, is an axiom of set theory that states that every countable collection of non-empty sets must have a choice function.
Applications
ACω is particularly useful for the development of mathematical analysis, where many results depend on having a choice function for a countable collection of sets of real numbers.
Example: infinite implies Dedekind-infinite
As an example of an application of ACω, here is a proof (from ZF + ACω) that every infinite set is Dedekind-infinite:[2]
Let X be infinite. For each natural number n, let An be the set of all n-tuples of distinct elements of X.
Since X is infinite, each An is non-empty.
Application of ACω yields a sequence (Bn) n∈N where each Bn is an n-tuple.
One can then concatenate these tuples into a single sequence (bn)n∈N of elements of X, possibly with repeating elements.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/671

672: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 07:30:11.74 ID:psDSFTci

つづき

Weaker systems
Paul Cohen showed that ACω is not provable in Zermelo–Fraenkel set theory (ZF) without the axiom of choice.[6] However, some countably infinite sets of non-empty sets can be proven to have a choice function in ZF without any form of the axiom of choice.
For example, Vω∖{∅} has a choice function, where Vω is the set of hereditarily finite sets, i.e. the first set in the Von Neumann universe of non-finite rank.
The choice function is (trivially) the least element in the well-ordering.
Another example is the set of proper and bounded open intervals of real numbers with rational endpoints.
ZF+ACω suffices to prove that the union of countably many countable sets is countable. These statements are not equivalent: Cohen's First Model supplies an example where countable unions of countable sets are countable, but where ACω does not hold.[7]

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice
Axiom of dependent choice
In mathematics, the axiom of dependent choice, denoted by
DC, is a weak form of the axiom of choice (AC) that is still sufficient to develop much of real analysis. It was introduced by Paul Bernays in a 1942 article in reverse mathematics that explores which set-theoretic axioms are needed to develop analysis.[a]
Relation with other axioms
Unlike full AC, DC is insufficient to prove (given ZF) that there is a non-measurable set of real numbers, or that there is a set of real numbers without the property of Baire or without the perfect set property. This follows because the Solovay model satisfies ZF+DC, and every set of real numbers in this model is Lebesgue measurable, has the Baire property and has the perfect set property.
The axiom of dependent choice implies the axiom of countable choice and is strictly stronger.[4][5]
It is possible to generalize the axiom to produce transfinite sequences.
If these are allowed to be arbitrarily long, then it becomes equivalent to the full axiom of choice.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice; DCと略される)
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/672

675: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 07:51:14.19 ID:psDSFTci

>>664-670
ここは、中高一貫校生が来る可能性があるので
書いておくが　；ｐ）

>>”σ集合体では加算個の演算が自由にできる”
>加算個は可算個の誤記として、

そこね >>663 確率論基礎 重川 P6からの転記だが
重川先生の誤記だね。教えてあげると 喜ぶだろう　（＾＾

さて、下記 確率の公理 にその答えの記述がある
百回音読してね
なお、『簡単な例：コイントス』があるよね
コイン投げの可算回も可！！！ｗｗｗ ；ｐ）
サイコロ投げも 同じだ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
確率の公理
コルモゴロフの公理は、1933年にアンドレイ・コルモゴロフが導入した、確率論の基礎となる公理である[1]
コルモゴロフによる公理系
略
公理5と6より、次の一般化加法定理（完全加法牲）が導かれる[7]。
一般化加法定理
集合列
{An}n∈N は、互いに素であり、
⋃n=1〜∞An∈Fならば、
P(⋃i=1〜∞Ai)=?i=1〜∞P(Ai).
一般化加法定理を満たす
P は、F が生成する完全加法族（σ-集合体）上の非負かつ完全加法的な集合関数に一意的に拡張可能である[8]。
簡単な例：コイントス
一回のコイントスを考え、コインが表 (H) または裏 (T) のいずれかで着地するものとする（両方は起きえない）。コインが公正であるかどうかに関して仮定はしない。
略
上記の通り、表の確率と裏の確率の合計は1である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%8A%A0%E6%B3%95%E6%97%8F
完全加法族
完全加法族（英: completely additive class [of sets], completely additive family [of sets]）とは、主な用途として測度を定義することに十分な特定の性質を満たす集合の集合である。特に測度が定義される集合全体を集めた集合族は完全加法族になる。

可算加法族（英: countably additive class [of sets], countably additive family [of sets]）、(σ-)加法族（（シグマ）かほうぞく、英: σ-additive family [of sets]）、σ-集合代数（シグマしゅうごうだいすう、英: σ-algebra [of subsets over a set], σ-set algebra）、σ-集合体（シグマしゅうごうたい、英: σ-field [of sets]）[注 1]ともいう。

この概念は、解析学ではルベーグ積分に対する基礎付けとして重要であり、また確率論では確率の定義できる事象全体の成す族として解釈される。完全加法族を接頭辞「完全」を付けずに単に「加法族」と呼ぶことも多い（つまり、有限加法族の意味ならば接頭辞「有限」を省略しないのがふつう）ので注意が必要である[1]。

いくつかの等価な定義がある。
略
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/675

682: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 08:12:01.82 ID:psDSFTci

>>674
>灘も甲陽学院も落ちてクソ公立中クソ公立高にしかいけなかった高卒ホモは嘘指導で大恥かく

神戸の小学校時代 灘の難しさは すでに有名だった（実話として 私の叔父が公立中から灘高校へ入って すごいと言われた）
小学校で一人通るか通らないか と当時言われていた（いまは全国区らしい。当時は 地方区）
私の小学校からは 受験する人は居なかったと思う

中学校で、2年で同級生になった子が クラスで1番で 学年でもトップクラスで
噂では 灘中を落ちて 進学は灘高を狙っていると言われた
（のち 灘高は受からず 公立のナンバーワン高へ）

私が高校に入学して、入試で一番の子と同級生
噂では、その子は 灘を落ちて この高校に来たという
もう一人別に、凄くできる子がいて、全国模試で常に上位で 東大合格圏（学年ではほとんどトップ）
その子は 東大法学部に入った。あとで聞くと、その子も 灘におちて 公立校に来たらしい
灘高生でも 東大法学部おちる人いるから まあ 公立校周り道もありだろう

私？ 私立の中や高はお金かかるし 家から遠い
考えたことも無かったが、成績でも とても灘とかのレベルではなかったね ；ｐ）

>　DCはACωから導けない　と白状する正真正銘の白知

ふっふ、ほっほｗｗ　；ｐ）
下記
”従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[5][6]”だってよ
文献[5][6]を 百回音読してねｗ　；ｐ）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice; DCと略される)
他の公理との関連
完全な ACと違って、DCは(ZFの下で) 実数の不可測集合やベールの性質を持たない集合や perfect set property を持たない集合の存在を証明するのに不十分である。これはソロヴェイモデルにおいては ZF+DCが成り立ちながら実数の集合が全てルベーグ可測でベールの性質を持ち perfect set property を持つからである。
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[5][6]
参考文献
5.^ ベルナイスが従属選択公理から可算選択公理が導かれることを証明した。参照: p. 86 in Bernays, Paul (1942). “Part III. Infinity and enumerability. Analysis.”. Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory 7 (2): 65–89. doi:10.2307/2266303. JSTOR 2266303. MR0006333.
6.^ 可算選択公理が従属選択公理を導かないことの証明は次のものを参照: Jech, Thomas (1973), The Axiom of Choice, North Holland, pp. 130–131, ISBN 978-0-486-46624-8

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/682

688: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 14:15:00.08 ID:psDSFTci

>>683
>「σ集合体において可算個の演算が自由にできる」
>「演算」とは集合の合併∪と交叉∩を指す。
>「数学において無限回の操作の繰り返しは許されない」に対する反例としてσ集合体を持ち出すのはまったくトンチンカン。

ゴキブリくんは、そういう粗雑な頭だから 数学科のオチコボレさんなのだｗ
そもそも

１）例えば 下記 古代ギリシャのアキレスと亀においては、無限というものが 十分理解できていないから
　パラドックスに見えたが、現代数学の視点からは 幾通りかの数学的な解が可能
　その一つが、無限回の演算を認めることだ
　つまり、『アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む（地点C）』
　これを 無限回繰り返して良い と すれば パラドックスに見えたが その実”無限回の演算”について
　例えば 極限 として定義すれば 良いだけのこと（これは 21世紀では ほんの一つの解釈にすぎない）
２）つまりは、「数学において無限回の操作の繰り返しは許されない」は 古代ギリシャ時代の話だ
　これ対する反例は、21世紀 現代数学ではいくらでもある
　単に一つの反例が上記の 極限と解釈する方法だし
　あるいは、上記の「σ集合体において可算個の演算が自由にできる」の話だ
　測度論による確率で σ集合体を使うと 無限回のコイン投げやサイコロ投げの確率を扱える
　つまり、「数学において無限回の操作の繰り返しは許されない」の反例の一つだ
３）他にも いろいろあるが 例えば下記のオイラー積がある
　下記”ディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積”
　左辺をディリクレ級数、右辺を無限積として もし ディリクレ級数が有限和であったり
　あるいは 無限積が有限で打ち切られたら？ 有限演算限定では 左辺＝右辺 の等号は不成立！■
　（なお、これが リーマン予想に直結することは ご存知の通り（下記小山））

(参考)>>663より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%8E%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ゼノンのパラドックス
アキレスと亀
スタート後、アキレスが地点Aに達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる（地点B）。アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む（地点C）。同様にアキレスが地点Cの時には、亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%A9%8D
オイラー積（英: Euler product）はディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積である。ディリクレ級数の一種のリーマンのゼータ関数についてこの無限積が成り立つことを証明した18世紀の数学者レオンハルト・オイラーの名前にちなむ

https://researchmap.jp/koyama/published_papers/16345243/attachment_file.pdf
深リーマン予想 researchmap 小山信也 2019 数理科学
— ちょうど当時，黒川氏も木村氏と独立に臨界領. 域内のオイラー積を研究しており，黒川氏は，そ. の予想を「深リーマン予想」と名付け，解説書 4). を著した

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/688

695: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 20:12:49.81 ID:psDSFTci

>>690-691
>>３）他にも いろいろあるが 例えば下記のオイラー積がある
>>　下記”ディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積”
>無限回の操作の繰り返しは well-defined でないことがどうしても理解できないオチコボレ君

やれやれ
数学科1年の1日目で 目を白黒させて オチコボレさんになった人よ
そういう 固い頭だから ダメなんじゃないの？
現代数学は、いくつかの 無限回の操作の繰り返しを well-defined にできる
そう考える方が 現代数学 を深く理解できるよ
例えば、下記のゼータ関数のオイラー積 高校数学の美しい物語 などな　（＾＾
百回音読してね ；ｐ）

(参考)
https://manabitimes.jp/math/2836
高校数学の美しい物語
ゼータ関数のオイラー積  2023/09/04
目次
証明のスケッチ
応用
素数の無限性の証明
オイラー積表示によって素数が無限個あることが証明できます。
メビウス関数との関連
ウォリス積との類似

https://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/03/30/172641
tsujimotterのノートブック
2014-03-30
ゼータ関数のオイラー積
オイラー積とは
レオンハルト・オイラーといえば世界一美しい公式と呼ばれる「オイラーの公式」が有名ですが、私が一番好きなのは次のオイラー積と呼ばれる公式です。
オイラー積（完全版）
略す
左辺が「1以上のすべての整数を使った和」となっており、右辺が「すべての素数を使った積」となっています。右辺が積の形をしているのでオイラー積と呼ばれます。
ポイントは「すべての整数」「すべての素数」を漏れなくだぶりなく使っている点で、まさに整数と素数をつなぐ架け橋になっているといえます。筆者はこのコンセプトが大好きです。
オイラー積の導出方法
略
素因数分解の一意性
ここで使っているのは、ただ一点、「素因数分解の一意性」です。
この「素因数分解の一意性」という整数の当たり前の性質を使っておきながら、それを的確な式の表現に落とすことで、誰も見たことない結果を生み出してしまう、というやり方が鮮やか
おわりに
ゼータ関数のオイラー積という美しい式を紹介しました。この式は「整数の和と素数の積に変換する」という一貫したコンセプトを持っていたのです。
しかもその導出は、「素因数分解の一意性」という整数の根源的な性質を用いるという、とびきり鮮やかなものでした。
オイラーがゼータ関数に着目したのは、素数の性質を探るためだと言われています。実際、オイラーはこの式から「素数の逆数の和が発散する」ことを示しています。いつかこの方法についても紹介したいですね。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/695

697: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 20:35:18.54 ID:psDSFTci

>>691
>>例えば 下記 古代ギリシャのアキレスと亀においては、無限というものが 十分理解できていないから
>無限を理解できていないのは、無限回のサイコロ投げはいつか終わると思ってる君。
>いつか終わるならそれは無限回ではなく有限回。

現代数学は、いくつかの 無限回の操作の繰り返しを well-defined にできる
そう考える方が 現代数学 を深く理解できるよ

例えば、下記の重川一郎 確率論基礎 P47 ランダム・ウォーク より
"定義1.1 時間t∈T をパラメーターとして持つ確率変数の族(Xt)を確率過程という．
T として[0,∞）,Z+＝{0,1,2,・・・}などがよく使われる．
[0,∞）のとき連続時間，Z+のとき離散時間という．"

いま、簡単に 確率変数 Xtが 0 又は 1の値を 各1/2の確率で取るとする
これは コイン投げと同じ事象だ。それで  パラメーターt で 連続として
0〜100秒を考える。連続だから、この時間内で 可算無限個の t1,t2,・・・
のサンプリングが考えられる。これは コイン投げを可算無限行ったことに等しい

同じことを Xtが {1,2,3,4,5,6}の6つの値を 各1/6で取る 確率過程を考えることが可能
コイン投げと同様に、可算無限個の t1,t2,・・・のサンプリングが考えられる
これは サイコロ投げを可算無限行ったことに等しい■

>>663より再録
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/index_j.html
重川一郎
講義ノート
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/lectures/2013bpr.pdf
確率論基礎
重川一郎 平成26年8月11日
P6
確率空間
基本的にσ集合体では可算個の演算が自由にできる．確率論では可測空間に，確率を付加したものを考える．
Ｐ7
例1.1 サイコロ投げの場合確率空間として次のものを準備すればよい．
Ω＝{1,2,・・・,6}^N ∋ω＝(ω1,ω2,・・・)
ωnは、1,2,・・・,6のいずれかで，n回目に出た目を表す
これが実際にσ-加法的に拡張できることは明らかではないが，Kolmogorov
の拡張定理と呼ばれる定理により証明できる．

P47
第4章ランダム・ウォーク
この章では，最も簡単な確率過程としてランダム・ウォークを扱う．
1.単純ランダム・ウォーク
単純ランダム・ウォーク
定義1.1 時間t∈T をパラメーターとして持つ確率変数の族(Xt)を確率過程という．
T として[0,∞）,Z+＝{0,1,2,・・・}などがよく使われる．
[0,∞）のとき連続時間，Z+のとき離散時間という．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/697

725: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/17(日) 11:27:45.98 ID:TyT53DUJ

>>676 補足
(引用開始)
>>例えば 下記 古代ギリシャのアキレスと亀においては、無限というものが 十分理解できていないから
>無限を理解できていないのは、無限回のサイコロ投げはいつか終わると思ってる君。
>いつか終わるならそれは無限回ではなく有限回。
現代数学は、いくつかの 無限回の操作の繰り返しを well-defined にできる
そう考える方が 現代数学 を深く理解できるよ
(引用終り)

数学科でオチコボレさんになった人が、グダグダ言っている
古代ギリシャの”無限”観を 引き摺る人よ
下記を百回音読してねｗ　；ｐ）

(参考)
google 検索：アキレスとカメ PDF 無限
https://www.mathsoc.jp/publications/tushin/backnumber/index-3-3.html
数学通信1998
https://www.mathsoc.jp/publication/tushin/0303/kakuda3-3.pdf
無限に小さいとは 無限小の意味と形式 角田譲 神戸大学
§1．ライブニッツの無限小及びその排除
最初に，ツェノンの逆理と呼ばれている“アキレスは決して亀を追い抜くことはできない”という逆理について考えてみましよう．
アキレスが地点x2に到着したときには，亀はやはりアキレスの前方何メートルかの地点諾3にいる．
このことは無限に繰り返される．従って，永遠にアキレスは亀を追い抜くことはできない．
上のもっともらしい屈理屈をどの様に論破したらいいのでしょうか？
確かに，上のプロセスは無限に繰り返されます
だからといって，永遠にアキレスは亀を追い抜くことができないと言うことになるでしょうか？
このようにある変化する量の 絶対値が限りなく小さくなるとき，それを無限小と呼びます

ライプニッツは無限小及び無限大について一見矛盾をしている次のような二つの見解を述べています
(a）無限小や無限大は微積分を展開するために便宜的に導入された仮想的な数（fiction）であり，必要であればそれらを排除してアルキメデス流の取り尽くし法に還元できる
(b）無限小や無限大は有限の量である．ただし，それは通常の量とは異なり，変動する量である．無限小は欲すれば欲するだけ小となる，無限大は欲す  れば欲するだけ大となる変動する量である
この二つの無限小と無限大についての見解は，後に見るように，一つの概念の二面をつく深い洞察を含んでいるものであります

§2．無限小の復活
そのことほ，ようやく，1950年代の終わりに1ロビンソン（A．Robinson，  1918−1974）により解決されました

https://hokkyodai.repo.nii.ac.jp/record/4595/files/47-1-1C-03.pdf
倉賀野志郎 1996 北海道教育大
いわゆる“ゼノンの逆理は,『無限小解析』によって “解決され ...
「アキレス：アキレスが亀を追うとする.
https://researchmap.jp/read0167313
倉賀野志郎

https://ds.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~math/toybox/omoshiro/publishing/inf_all.pdf
無限の話 中内伸光 2003 山口大
P3. この冊子の目的. 奇妙で、不思議で、. ちょっぴり怖い. 「無限」の世界を. 世にも奇妙な物. かいま見てみましょう
https://researchmap.jp/read0017262
中内伸光

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/725

732: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/17(日) 14:46:27.11 ID:TyT53DUJ

>>728
>>無限回の繰返し演算について現代数学の理論で十分正当化できる

・君には、C^∞ 級 無限回微分可能と C^ω 級 解析函数と
　この差 理解できないだろう
・下記の佐々木浩宣 千葉大「至るところ実解析的ではない無限回微分可能な関数」を百回音読してね
・なお、超関数で シュワルツのは C^∞ 級、佐藤hyperfunctionは C^ω 級 だと言われる　（＾＾

(参考)
https://manabitimes.jp/math/1144
高校数学の美しい物語
C1級関数,Cn級関数などの意味と具体例 2021/03/07
一般化
〜高階微分へ〜
・何回でも微分可能な関数を C^∞ 級，無限回微分可能などと言います。
・C^ω 級というクラスもあります。べき級数展開可能（テイラー展開できる）という意味です。
C^ω 級なら C^∞ 級ですが，逆は成立しません。無限回微分可能でもテイラー展開できない
（剰余項 →0 とならない）場合があるからです。→テイラーの定理とテイラー展開〜例と証明

https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~sasaki/
佐々木浩宣 千葉大 数学・情報数理学科
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~sasaki/011_C_infinity_not_C_omega.pdf
至るところ実解析的ではない無限回微分可能な関数 2013
参考文献[1]松島,多様体入門,裳華房

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86
微分
高階微分
何回でも微分可能な関数は無限回微分可能である（または C ∞ 級である）という

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%8F%AF%E8%83%BD%E9%96%A2%E6%95%B0
微分可能関数
微分可能性のクラス
連続的微分可能関数は、C1-級であると言われる。関数に一階および二階の導関数が存在し、それらが両方とも連続であるとき、その関数は C2-級にであると言われる。より一般的に、k-階までの導関数 f'(x), f″(x), ... , f(k)(x) が存在し、すべて連続であるなら、その関数は Ck-級であると言われる。すべての正の整数 n に対して導関数 f(n) が存在するなら、その関数は滑らか、あるいは、C∞-級であると言われる
複素解析における微分可能性
複素解析において、ある点の近傍で複素微分可能な関数はすべて正則と呼ばれる。そのような関数は必ず無限回微分可能であり、実は解析的である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E9%96%A2%E6%95%B0
正則関数
概要
正則な複素関数は、その導関数も正則である。すなわち微分操作を無制限に繰り返してよい[6]
正則函数が解析的であること:複素解析における正則関数は何回でも微分可能であり、したがって冪級数に展開できる

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E9%96%A2%E6%95%B0
超関数
1940年代末にはシュワルツがこれらを超関数の理論としてまとめた
1958年に佐藤幹夫が層コホモロジーの理論を応用して、シュワルツらとは別の見地に立った超関数論を組み立てた
名称
「超関数」という言葉自体は日本でつくられた数学用語である
英語文献において、一般の超関数を指すときは generalized function（一般化された関数）という
シュワルツの超関数は "distribution" と呼ばれ、佐藤の超関数は "hyperfunction"（超関数）と呼ばれる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/732

742: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/17(日) 17:56:57.37 ID:TyT53DUJ

>>733-738
>f(x)=e^(-x) が無限回微分できると仮定し、無限回微分した関数をg(x)と書く。

ふっふ、ほっほ
そういう雑な思考をしているから 数学科のオチコボレさんになる
それは、下記の chiebukuro 無限級数 ”1-1+1-1+1,,,,,,,,,, ”の話と類似であって そのような 無限級数があるからと 全ての無限級数を否定するのは オチコボレのみ
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14298410794
chiebukuro.yahoo
1252701449さん 2024/5/22 無限級数のついて質問です。 1-1+1-1+1,,,,,,,,,, はなぜ発散なのですか？
１になったり０や−１になるからですか？
(引用終り)

別に g(x)=e^(x) を取る。これは 指数関数だ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0
無限回微分により テーラー展開 e^(x)=Σ n=0〜∞ 1/n! x^n を得る https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B
このテーラー展開 は、無限級数である（項は無限でなければならない（有限ではありませんｗｗｗ））■

まあ、オチコボレは テレンスタオの“big picture”、謎の数学者氏「絵を描くように」、ポアンカレ＆渕野昌 のいう  数学的直観
が欠落している 君は勉強不足だよｗ　；ｐ）

(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/7-9
テレンスタオ！
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/
Career advice (このサイトに、いろんなアドバイスがあり、参考になる。下記は、その一つです)
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
By Terence Tao
There’s more to mathematics than rigour and proofs July 2016 (1)
3.The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
(google訳)
3. 「ポスト厳密」段階。以下略す

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/742

743: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/17(日) 17:57:32.93 ID:TyT53DUJ

つづき

謎の数学者 の ”数学に向かない人”の話でも 「絵」に例えています
これ“big picture”ですね。 “big picture”が分らないおサルさん(後述)ｗ これでしょうね ；ｐ）
(参考)＜いまリンク切れだが＞
https://youtu.be/q-3IWEyfFQg?t=11https://youtu.be/q-3IWEyfFQg?t=1
数学に向かない人の数学書の読み方。数学者はこうやって読む
謎の数学者 2022/06/07
コメント
@gary8593
2 年前
「絵を描くように」という例えが、めちゃくちゃ腑に落ちました。
特に英語の文献を読む時に精読を心がけすぎて、全体像が掴めなくなることがよくあって困ってたので、参考にします。

https://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9
Henri Poincaré
https://en.wikipedia.org/wiki/The_Value_of_Science
The Value of Science (French: La Valeur de la Science) is a book by the French mathematician, physicist, and philosopher Henri Poincaré. It was published in 1904. The book deals with questions in the philosophy of science and adds detail to the topics addressed by Poincaré's previous book, Science and Hypothesis (1902).
(google訳)
直感と論理
最後に、ポアンカレは幾何学と解析学 の科学の間に根本的な関係があるという考えを提唱しました。彼によれば、直感には二つの主要な役割があります。科学的真理を探求する上でどの道を進むべきかを選択すること、そして論理的展開を理解することです。
論理は確実性しか与えず、証明の手段である。直感は発明の手段である。

＜数学と厳密＞
あなたのまったく逆を、渕野先生が書いている
”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い”
https://www.amazon.co.jp/dp/4480095470
数とは何かそして何であるべきか デデキント 訳解説 渕野昌 筑摩書房2013
「数学的直観と数学の基礎付け 訳者による解説とあとがき」
P314
(抜粋)
数学の基礎付けの研究は，数学が厳密でありさえすればよい， という価値観を確立しようとしているものではない.
これは自明のことのようにも思えるが，厳密性を数学と取りちがえるという勘違いは，
たとえば数学教育などで蔓延している可能性もあるので，
ここに明言しておく必要があるように思える
多くの数学の研究者にとっては，数学は，記号列として記述された「死んだ」数学ではなく，
思考のプロセスとしての脳髄の生理現象そのものであろう
したがって，数学はその意味での実存として数学者の生の隣り合わせにあるもの，と意識されることになるだろう
そのような「生きた」「実存としての」(existentialな)数学で問題になるのは，
アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観」とよばれるもので，
これは， ときには，意識的に厳密には間違っている議論すら含んでいたり，
寓話的であったりすることですらあるような，
かなり得体の知れないものである
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/743

756: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/17(日) 19:54:18.42 ID:TyT53DUJ

>>739 追加

https://www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp/~kihara/
Takayuki Kihara, Associate Professor (Curriculum Vitae)
Department of Mathematical Informatics
Graduate School of Informatics
Nagoya University, Japan
https://www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp/~kihara/wakate2019.html
数学基礎論若手の会 2019
講演リストおよびスライド
荒武 永史 (京都大学): トポス理論と圏論的論理学への誘い
https://www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp/~kihara/workshop/wakate/aratake.pdf
トポス理論と圏論的論理学への誘い
荒武永史 京都大学大学院理学研究科
2019 年12月6日 数学基礎論若手の会2019in岡崎

Contents
Toposes as Mathematical Universes
圏論的論理学と分類トポス
1 トポス理論入門：Grothendieckトポスと初等トポス
・Grothendieck トポス
・初等トポス
2 Toposes as Mathematical Universes
・トポスにおける一階論理の解釈
・Kripke-Joyal 意味論とSheaf Semantics
3 圏論的論理学と分類トポス
・函手的意味論
・一階理論の分類トポス

ロジック的な視点からは、トポスには主に2つの側面がある
▶ Toposes as Mathematical Universes
▶ “トポスの中で”数学的構造を考えられる
▶ 集合論や型理論の圏論的解釈を与えられる
▶ Toposes as Theories
▶ 理論とトポスが“対応する”（理論の分類トポス）
▶ 理論のモデルは分類トポスからの函手と見なせる
同じトポスを様々な視点から調べられるのが最大の特徴！

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/756

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