ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (468ﾚｽ)
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255: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/29(日) 09:31:13.86 ID:HQSTLRKE

>>250
>> 1の冪根と（整数論の）”原始根”は密接に関連していて、一方「1の原始n乗根」もある
>> 数学では一つの議論における数学の用語は、冒頭で定義して
>> その議論中では一貫してその定義通りに厳密に使うべし
>どの本を読んだか知らないが、
>その言葉で、全く分かってないことが露見
>そこ、全然関係ないから

君は、石井の頂本（下記）を買ったというが、全然読めてないぞ
関連箇所を 引用しておくから、百回音読してね ；ｐ）

要点は、1の冪根の方程式 x^n-1=0 (2≦n) において
この方程式のガロア群は 本質的に巡回群だ
巡回群の説明のために、第１章で（整数論の）”原始根”とか オイラー関数φとかが出てくるんだよ

まあ、君には難しいのだろうが・・

(参考)
https://www.beret.co.jp/book/43638
ベレ出版
ガロア理論の頂を踏む
石井俊全 2013年08月22日発売

（目次）
https://www.beret.co.jp/uploads/2023/02/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E7%9B%AE%E6%AC%A1.pdf
第１章「整数」
?(Z/Zp)*  は，巡回群である････73
?  素数pの原始根は確かにある････80
?  既約剰余類群を解剖する････ 87
　▶(Z/Zp)*の構造
第4章　「複素数」
4  1の原始n乗根を解に持つ方程式････245
▶円分多項式
 定義 4.1  円分多項式････ 245
 定理 4.10  素数次の円分多項式････246
 定理 4.11  1のn乗根の和の公式･････247
第6章　「根号で表す」
1  1のn乗根をベキ根で表す････412
▶円分方程式の可解性
 定理 6.1  1のn乗根のベキ根表現････ 416

（立ち読み）
https://www.beret.co.jp/uploads/2022/12/487.pdf
はじめに
P5
ルートの説明
登り口は，第1章「整数」です
整数の章の最終目標は，既約剰余類群の構造の解明です。これはピーク
の定理の証明でも使われる事項で重要項目です
P6
第5章は，「体の拡大と自己同型群」がテーマです
このガロア拡大体の概念を定義するには大きく分けて3つのルートがあ
ります。
ガロア拡大体の定義
（１） 方程式の最小分解体
（２） 有限次正規拡大体
（３） （ガロア群の位数）＝（拡大体の次数）
この本がとったルートは，（１）（最小分解体道）です。
第6章「根号で表す」では，いよいよピークの定理の証明に挑みます。
章の冒頭では1のn乗根が根号で表されることを具体的に計算で示します。
1のn乗根が根号で表されることは，ピークの定理から導かれる事実です
が，具体的な計算は他書ではなかなかお目にかかれないところです

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/255

258: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/29(日) 10:16:55.23 ID:HQSTLRKE

>>256
ありがとう
良い突っ込みだね

”1の冪根の方程式 x^n-1=0 (2≦n) において
この方程式のガロア群は 本質的に巡回群だ”は、省略形です

まあ、>>255で引用した 石井の頂本を読んで貰えば 省略されていることは
全部記述があるよ （別に 石井の頂本以外の該当箇所でも可）
ちゃんとしたガロア本の成書で補うべし、そういう前提で書いている
念のため、ガロア群 ja.wikipediaを引用しておく

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%BE%A4
ガロア群
定義
体の拡大のガロア群
略
多項式のガロア群
体 E が多項式 f の F 上の分解体（ f の根をすべて含む最小の F の拡大体）であるとき、 Gal(E/F) を f の F 上のガロア群と呼ぶ。
(引用終り)

>「Q上のすべてのアーベル拡大は、円分体またはその部分体として得られる」
>というクロネッカー-ウェーバーの定理と齟齬が生じるとは思いませんか？

そこも、興味深いツッコミだが
齟齬は　全く生じていないと思うよ
下記をご参照

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E6%8B%A1%E5%A4%A7
アーベル拡大
ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大 (abelian extension) と言う。ガロア群が巡回群のときは、巡回拡大 (cyclic extension) という。ガロア拡大が可解 (solvable) であるとは、ガロア群が可解、つまり中間拡大に対応するアーベル群の列からガロア群が構成されるときを言う。
有限体の全ての有限拡大は、巡回拡大である。類体論の発展は、数体と局所体と、有限体上の代数曲線の函数体のアーベル拡大についての詳細な情報をもたらした。
円分拡大という概念があり、2つの少し異なる定義がある。1つは1の冪根による拡大のことであり、もう1つはその部分拡大のことである。例えば円分体は円分拡大である。任意の円分拡大はいずれの定義でもアーベル拡大である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
クロネッカー・ウェーバーの定理
代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker–Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のアーベル拡大体はある円分体に含まれるという定理である。言い換えると、有理数体上の拡大体でそのガロア群がアーベル群である体に含まれる代数的整数は、1の冪根の有理係数による和として表すことができる。

https://tsujimotter.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/kronecker-weber-1
tsujimotterのノートブック
2017-07-02
クロネッカー・ウェーバーの定理と証明のあらすじ（その１）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/258

261: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/29(日) 10:57:21.95 ID:HQSTLRKE

>>258 追加

検索ヒットしたので、メモ貼る
河田 敬義 数学/6 巻 (1954-1955) は、クラシックだがムズイね
P-14虚数乗法とKroneckerの青春の夢 佐々木隆二（日大理工・教員・数学）は、短いから チラ見できる
中野伸 先生 代数II（2022 年度版）も 良いんじゃない （＾＾

(参考)
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/6/3/6_3_129/_article/-char/ja/
数学/6 巻 (1954-1955) 3 号/書誌
種々のアーベル拡大の理論と類体論との関係について
河田 敬義

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1060-21.pdf
類体論の源流 \S 1 （1998）
RIMS, Kyoto University
三宅克哉 著哉 (東京都立大学理学研究科)
· 1998 — 1853 年, 29 歳のクロネッカーは短い論文 [Kr-18531 で次の主張を提示した. クロネッ朝 $-$ ーヴエ一バーの定理 : 有理整数係数のアーベル方程式の根は必ず 1 の. 罵 ...
25 ページ

https://www.cst.nihon-u.ac.jp/research/gakujutu/55/
平成 23 年度　日本大学理工学部　学術講演会論文集
https://www.cst.nihon-u.ac.jp/research/gakujutu/55/html/program/bu_16.html
P:数学系部会 (ここの数字 ”P-14”とかに pdfへのリンクがある)
P-14虚数乗法とKroneckerの青春の夢
○寺島三晴・上石冬華・吉崎哲也（日大理工・院（前）・数学）・佐々木隆二（日大理工・教員・数学）
https://www.cst.nihon-u.ac.jp/research/gakujutu/55/pdf/P-14.pdf
Abstract 1 Kronecker-Weberの定理 1379 P-14
この定理は, 有理数体の全ての有限アーベル拡大は円. 分体に含まれる事を意味している. これを発展させて, 基. 礎体 Q を虚二次体, 即ち Q(i) 等の Q の二次拡大 ...
2 ページ

（これは ガロア理論のご参考）
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/
中野　伸
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Alg2/2022/2022book.pdf
代 数 II
2022 年度版
　中野　伸
（学習院大学・理学部・数学科）
目 次
§11. ガロア対応 . . . . 41
§13. クンマー拡大 .  . . 49
§14. 可解性
Ｐ55
定理 14.9 (ガウス) n を自然数とし，ζ を 1 の原始 n 乗根とすると，任意の体
K に対して ζ は K 上ベキ根で表される

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/261

268: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/29(日) 12:40:55.80 ID:HQSTLRKE

>>262-264
>本質的に巡回群？　そんな粗雑な表現は
>数学では許されませんね。「pが素数であるなど

代数方程式のガロア理論における可解の場合において
　>>266 矢ヶ部 「数３方式ガロアの理論」P488にあるが
『f(x)=0が代数的に解けると、その群Tは単位置換だけを含むか
そうでないときは、Tは
T⊃S1⊃S2⊃・・・⊃SN={τ0}という、有限の部分群の系列を持つ。
SkはSk-1の正規部分群で、Sk-1に対するSkの指数は素数。勿論、S0はTの意味』とある
SkはSk-1の正規部分群で、Sk-1に対するSkの指数は素数
商群の位数は素数で 巡回群

なお 下記も ご参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_group
Cyclic group
Examples
Galois theory
An nth root of unity is a complex number whose nth power is 1, a root of the polynomial xn − 1. The set of all nth roots of unity forms a cyclic group of order n under multiplication.[1] The generators of this cyclic group are the nth primitive roots of unity; they are the roots of the nth cyclotomic polynomial. For example, the polynomial z3 − 1 factors as (z − 1)(z − ω)(z − ω2), where ω = e2πi/3; the set {1, ω, ω2} = {ω0, ω1, ω2} forms a cyclic group under multiplication. The Galois group of the field extension of the rational numbers generated by the nth roots of unity forms a different group, isomorphic to the multiplicative group (Z/nZ)× of order φ(n), which is cyclic for some but not all n (see above).
A field extension is called a cyclic extension if its Galois group is cyclic. For fields of characteristic zero, such extensions are the subject of Kummer theory, and are intimately related to solvability by radicals. For an extension of finite fields of characteristic p, its Galois group is always finite and cyclic, generated by a power of the Frobenius mapping.[8] Conversely, given a finite field F and a finite cyclic group G, there is a finite field extension of F whose Galois group is G.
（google訳）
n乗根は、 n乗が 1 である複素数で、多項式x n − 1の根である。すべてのn乗根の集合は、乗法の下でn 位の巡回群を形成する。[ 1 ]この巡回群の生成元はn乗原始根である。これらはn乗円分多項式の根である。たとえば、多項式z 3 − 1は( z − 1)( z − ω )( z − ω 2 )として因数分解される。ここでω = e 2 πi /3である。集合 {1, ω , ω 2 } = { ω 0 , ω 1 , ω 2 } は乗法の下で巡回群を形成する。n乗根によって生成される有理数の体拡大のガロア群は、 φ ( n )位の乗法群 ( Z/ n Z ) ×と同型の別の群を形成し、これはすべての n に対してではなく一部の n に対して巡回的です (上記を参照)。
体拡大は、そのガロア群が巡回的である場合、巡回拡大と呼ばれる。特性ゼロの体の場合、そのような拡大はクンマー理論の対象であり、根号による可解性と密接に関係している。特性 pの有限体の拡大の場合、そのガロア群は常に有限かつ巡回的であり、フロベニウス写像の冪によって生成される。[ 8 ]逆に、有限体 Fと有限巡回群 Gが与えられた場合、ガロア群が GであるFの有限体拡大が存在する

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/268

270: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/29(日) 14:42:16.42 ID:HQSTLRKE

>>257 補足
>だから、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
>（いま、簡便に係数を有理数体Qに取るとして）
>Qに対して 「必要なだけの 1のn乗根 が 添加されている」とする立場と
>そうでない立場の2つの流儀があるのです

えーと、適当な文献がネットでヒットしないが（多分 電子化されていない紙媒体が多いと思われる）
まあ、下記 井汲景太氏 2021年1月7日など をば
”「必要なだけの 1のn乗根 が 添加されている」とする立場”については
各自 下記を参考に、追加で検索するなり＊）、図書を読むなりしてください
＊）英文検索の方が何かヒットしそうだが、今回はここまで

(参考)
https://ikumi.que.jp/blog/
五次元世界の冒険 数式処理ソフトによるガロア群の算出と、べき根を用いた厳密解の表現 その17 2024年5月5日
など多数の投稿あり
https://ikumi.que.jp/blog/archives/999
五次元世界の冒険
新・方程式のガロア群の求め方 & ガロア群が可解である方程式の解き方 その6
2021年1月7日
井汲 景太
略
コメント
井汲 景太
2022年6月10日
・ガロアの手法との関係
私もガロアの原論文にちゃんと当たったわけではないですが、私が読んだ文献の記述から、私は次のように理解しています。
ガロアの時代は、 1のべき根に限ればすべてべき根で表せるということがガウスによってわかっていました
略
このことから、ガロアの考察においては、「使用可能な数」として有理数と「 1のべき根」の区別ははっきりつけておらず、 p乗根の添加に当たっては「今まで Q だと思っていた係数体は、実は 1 の原始 p 乗根を含んでいたということにするよ」みたいな考え方に当たるようなルーズな扱い方をしています。
ですから、V の最小多項式が 1 次式にまでに因数分解し尽くした時の体は、現代の厳密な視点では一般には最小分解体ではなく、余裕のあるより大きい体になっている…というわけです。つまりガロアが示したことも、現在の記法で言えば L=S ではなく L⊃S です。

井汲 景太
2022年6月12日
略
うーんと、「事前に用意しておく必要がある」というのがどういうことなのかよくわかりません。前回書いた通り、1の原始 n 乗根はすべてべき根で表せるので、1のべき根の添加は、その気になればすべて（多段の）べき根添加で代替できますよ。
略

サイトウ
2022年6月19日
略
ここでは，代数方程式の代数的可解性とガロア群の可解性とが同値であることを「考えている基礎体F が十分に多くの1 のべき根を含む」という追加条件のもとに説明した。実は，この追加条件は必要ないことが知られている。つまり，次の定理が成り立つ（証明は省略する）。
————————————–
イ　FをQの拡大体とし，F上のn 次代数方程式f (x) = 0 の最小分解体をE
とする。このとき， f (x) = 0 が代数的に可解であるための必要十分条件
は，ガロア群G = Gal(E/F) が可解群であることである。
略

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/270

274: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/29(日) 17:33:38.58 ID:HQSTLRKE

>>270
>新・方程式のガロア群の求め方 & ガロア群が可解である方程式の解き方 その6
>2021年1月7

ここ、井汲景太氏で 検索すると 多数の投稿があった
下記を、抜粋ご紹介しておく

google検索：
方程式のガロア群の求め方 site:https://ikumi.que.jp/

検索結果：
https://ikumi.que.jp/blog/
五次元世界の冒険 – Venture among math and relativity
2024/05/05

https://ikumi.que.jp/blog/archives/25
ガロア理論の学習に至るまで – 五次元世界の冒険
アイネットディー
2014/02/23 — 「一般の 5 次方程式を、係数に有限回の加減乗除と累乗根を施すだけで解くことはできない」ということを最初に証明したのはアーベルで、ガロア理論の登場 ...

https://ikumi.que.jp/blog/archives/132
ガロア流のガロア群の定義解説のハマリ所 – 五次元世界の冒険 2014年4月15日
アイネットディー
ガロア群の定義は、現代流に再編された代数理論だと、ベースになる体 K とそのガロア拡大体 L に対して、 L の K 同型写像全体のなす群として定めている。

https://ikumi.que.jp/blog/archives/256
ガロア群が可解である方程式の解き方・その1
https://ikumi.que.jp › blog › archives
2015/12/24 — 前回、重解を持たない n 次方程式では、整数係数であれば n ≧ 5 であっても解の置換群としての Galois 群が求められることを説明した。

https://ikumi.que.jp/blog/wp-content/uploads/2018/09/galois-solution.pdf
可解な代数方程式の ガロア理論に基づいた解法 2018年 9月
アイネットディー
PDF P63
... 計算例を加えた。 第1部では代数方程式のガロア群の計算法について述べる。以下に概要を示す。 (1)対象とする代数方程式はn次方程式f(x)=x n+an-1x n-1+…+a1x+a0=0とし ...

https://ikumi.que.jp/blog/wp-content/uploads/2019/09/galois-solution-ver2.pdf
可解な代数方程式の ガロア理論に基づいた解法(第2版) 2019年 9月
アイネットディー
PDF
第1部では代数方程式のガロア群の計算法について述べる。以下に概要を示す。 (1)対象とする代数方程式はn次方程式f(x)=x n+an-1x n-1+…+a1x+a0=0とし，その根をx1,x2 ...

https://ikumi.que.jp/blog/archives/252
方程式のガロア群の求め方
アイネットディー
2015/12/06 — V = α + 2 β + 3 γ とおく（解の整数係数の1次結合）。対称群 S 3 の 3 ! = 6 通りの置換で V の解を入れ替えた値を V 1 〜 V 6 とする。

https://ikumi.que.jp/blog/archives/293
方程式のガロア群の求め方＆ガロア群が可解である方程式の解き方・番外編.
アイネットディー
2016/03/21 — 方程式のガロア群の求め方＆ガロア群が可解である方程式の解き方・番外編 · に対して、 · に対応する V k にわたる積 · の最小多項式として F ( x ) の既約 ...

https://ikumi.que.jp/blog/archives/875
新・方程式のガロア群の求め方 その2
アイネットディー
2019/11/21 — いつも通り、 V = α + 2 β + 3 γ とおく。ポイントは、 V と (1) の 6 つの元の積を、再び (1) の 1 次結合として書き表すことである

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/274

281: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/29(日) 20:41:58.35 ID:HQSTLRKE

>>275
>「G に属するすべての置換 σ に対して
>q(a‗σ(1),…,a_σ(n))=q(a_1,…,a_n)
>となるときそのときに限り
>q(a_1,…,a_n)は有理数となる」
>”　”の箇所が私が書いた。
>ここがポイントなので、これ書けてない時点で全然見当違いな読み方してると分かる。

素人はこれだから・・ ；ｐ）
下記、『ガロア理論における代数方程式の正規性と分離性とは、ガロア拡大を特徴づける重要な概念です』
とあるでしょ
百回音読してね
その「」内の条件は、ガロア理論では ”正規かつ分離”の条件がつくから 自動的に満たされる （＾＾
（『体の拡大の中で特に「正規性」と「分離性」という2つの性質を満たす物のことをガロア拡大という』）

(参考)
google検索：ガロア理論 代数方程式 正規かつ分離
検索結果：
代数拡大、分離拡大、正規拡大そしてガロア拡大へ ペンギンは空を飛ぶ
https://peng225.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/2016/09/04/162550
2016/09/04 — L/Kが代数拡大であるとき、L/Kがさらに分離拡大かつ正規拡大になっているとき、これをガロア拡大と呼ぶ

AI による概要<AI の回答には間違いが含まれている場合があります>
ガロア理論における代数方程式の正規性と分離性とは、ガロア拡大を特徴づける重要な概念です。正規性とは、体の拡大において、ある多項式のすべての根がその拡大体に属していることを指します。分離性とは、ある多項式のすべての根が互いに異なることを指します。これらの性質は、ガロア理論におけるガロア群の構造を理解する上で不可欠です
正規性
体の拡大L/Kが正規であるとは、K上の任意の既約多項式f(x)がLで線形因子に分解される場合を指します。つまり、f(x)がLで根を持つならば、Lのすべての根を持ちます。言い換えれば、LがKの代数閉包のKにおける部分体である場合、正規拡大となります
分離性
体の拡大L/Kが分離的であるとは、K上の任意の既約多項式f(x)がLで相異なる根を持つ場合を指します。つまり、f(x)の根はすべて重複度1を持ちます。標数が0の体（有理数体Qなど）上では、すべての多項式は分離的です。しかし、標数がp>0の場合（例えば有限体Fpなど）には、分離的でない多項式が存在します
ガロア拡大
ガロア拡大とは、正規かつ分離的な体の拡大のことです。ガロア拡大は、ガロア群と呼ばれる特別な群と密接に関連しており、ガロア理論の中心的な概念です
例:
複素数体Cは、実数体Rの正規拡大であり、また分離拡大でもあります。したがって、CはRのガロア拡大です
有限体Fp(t)のFp(t^p)への拡大は、正規拡大ですが、分離拡大ではありません
標数が0の体K上の任意の有限次拡大は、ガロア拡大です
まとめ:
ガロア理論における正規性と分離性は、体の拡大の性質を記述する重要な概念です。これらの性質は、ガロア群の構造を理解し、代数方程式の可解性や作図可能性などの問題を研究する上で不可欠です

https://event.phys.s.u-tokyo.ac.jp/physlab2024/advent-calendar/18/
この世界で最も美しい理論 ガロア理論 Physics Lab.2024 東京大学
体の拡大の中で特に「正規性」と「分離性」という2つの性質を満たす物のことをガロア拡大という

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/281

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