I, I'⊂Rを開区間、写像f: I → I'は全単射で連続とする。このとき、f^(-1)も連続であることを示せ。 (5ﾚｽ)
上下前次1-新

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1: １３２人目の素数さん [] 2025/05/21(水) 08:15:53.84 ID:+jbWUBnt(1) AAS
貴様らにできるかな？（笑）

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2: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/21(水) 10:01:37.94 ID:Ey8mdJmB(1) AAS
働け

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3: １３２人目の素数さん [] 2025/05/21(水) 12:44:34.67 ID:gA/AGcuq(1) AAS
Lemma:
f: I → I'が連続な単射ならば、単調増加または単調減少

Proof:
fが単調増加でも単調減少でもないと仮定する。
このとき、a < bかつf(a) > f(b)となるa, b∈Iおよび、c < dかつf(c) < f(d)となるc, d∈Iが取れる。
a, b, c, dの順番（6通り）で場合分けして、それぞれのケースで中間値の定理を使えば、fは単射じゃないとわかる（略）。□

Prop:
f: I → I'が連続で単調増加または単調減少ならば、逆関数f^(-1)も連続

Proof:
fが単調増加の場合のみ示せばよい。
y∈f(I)を任意の点とする。f(x) = yとなるxが存在する。
正の数εを任意に取る。
fは単調増加なので、f(x - ε) < f(x) < f(x + ε)が成り立つ。
δ = min {|f(x) - f(x - ε)|, |f(x + ε) - f(x)|}/2とおくと、

f(x - ε) < f(x) - δ < f(x) < f(x) + δ < f(x + ε)。

fは連続なので、中間値の定理より、区間(f(x) - δ, f(x) + δ)の任意の点y’に対して、f(x') = y'となるx'∈(x - ε, x + ε)が存在する。よって、

|y - y'| < δ ⇒ |f^(-1)(y) - f^(-1)(y')| = |x - x'| < ε。□

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4: １３２人目の素数さん [] 2025/05/21(水) 21:43:23.87 ID:lE8IyQho(1) AAS
「I, I'⊂Rを開集合」にすれば、どうか。
（配点5点）

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5: １３２人目の素数さん [] 2025/05/21(水) 21:57:45.63 ID:IPQtaOTf(1) AAS
全然まったくちっともまるで面白くない拡張もどき

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