ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

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972(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/28(水) 08:17:23.55 ID:bsICkNCM(1) AAS
>>939
ID:CTASdXCp は、御大か
巡回ありがとうございます

２と３と５と７の平方根が有理数体上線形独立であることを初めて示したのは誰？
　↓英訳
Who first showed that the square roots of 2, 3, 5, and 7 are linearly independent over the field of rational numbers?

Copilotさんに喰わせると
その答え：
The linear independence of square roots of distinct square-free integers over ℚ has been studied extensively in number theory and algebra. One of the earliest rigorous treatments of this topic can be traced back to A.S. Besicovitch (1940), who explored the linear independence of fractional powers of integers. Later, L.J. Mordell (1953) also contributed to the study of the linear independence of algebraic numbers.
The general result states that if n₁, n₂, ..., nₖ are distinct square-free integers, then {√n₁, √n₂, ..., √nₖ} is linearly independent over ℚ. This follows from deeper results in Kummer theory and the Galois theory of radical extensions.
Would you like to explore the proof in more detail? It involves some fascinating applications of field extensions and trace arguments.
でした
果たして、合っているかどうか？　（＾＾

975(1): 信長 [] 2025/05/28(水) 08:22:51.60 ID:nuSLWt7U(30/37) AAS
>>972
よぉ、サル、生きてたか！

976: 信長 [] 2025/05/28(水) 08:24:46.84 ID:nuSLWt7U(31/37) AAS
>>972
なんで、英訳で質問してんだ？　日本語で聞け！

Grokに尋ねたら、デデキントじゃね？と言ってきたぞ

977(1): １３２人目の素数さん [] 2025/05/28(水) 08:26:36.57 ID:CTASdXCp(2/2) AAS
>>972
Thnx!
リーマンだと思っていた。
アーベル多様体でない複素トーラスの例を書いたときは
多分デデキントにでも相談したのだろうと
勝手に思っていた。
ジーゲルが書いた例は多分リーマンからとっている。

982: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/28(水) 10:24:10.69 ID:vzADU7Bh(1/5) AAS
>>974
死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツさん、ありがとうございます。
今後ともよろしくお願いいたします

>>975
はて？信長さまか？
ひょっとして、蕎麦屋さんかい
お元気そうでなによりです

>>977
ID:CTASdXCp は、御大か
巡回ありがとうございます。
Copilot回答　>>972は鵜吞みにできないと思っています

>>980
>√2と√3がQ上線形独立であることは
>(√2x+√3y)(√2x-√3y)=2x^2-3y^2=0 が(0,0)以外の有理数解(x,y)を持たないことと同値。

ありがとね
そこは、東京理科大では禁句の背理法

√2と√3がQ上線形従属と仮定する
a√2+b√3＝0
となる 0でない有理数a,b が取れる
移行して整理すると
√2/√3＝-b/a
　↓
√(2/3)＝b'/a (b'＝-b >0 と書き直した)
つまり、√(2/3) が有理数になって矛盾*) ■
注*) "矛盾"は、思いつくであろう by ガロア
"矛盾"は、詳しく書くには余白が狭い by フェルマー

まあ、背理法を使えば、”√2と√3がQ上線形独立”は、√2の無理数性の背理法証明の延長線上だな；ｐ）
”２と３と５と７の平方根が有理数体上線形独立”>>972とか個数が増えると背理法ではつらくなるね

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