[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
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857(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/26(月) 18:04:03.83 ID:Ca1KD/GB(4/6) AAS
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Septic_equation
Septic function (7次方程式)
Solvable septics
Some seventh degree equations can be solved by factorizing into radicals, but other septics cannot. Évariste Galois developed techniques for determining whether a given equation could be solved by radicals which gave rise to the field of Galois theory.
Septics are the lowest order equations for which it is not obvious that their solutions may be obtained by composing continuous functions of two variables. Hilbert's 13th problem was the conjecture this was not possible in the general case for seventh-degree equations. Vladimir Arnold solved this in 1957, demonstrating that this was always possible.[2] However, Arnold himself considered the genuine Hilbert problem to be whether for septics their solutions may be obtained by superimposing algebraic functions of two variables.[3] As of 2023, the problem is still open.
↓
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_thirteenth_problem
Hilbert's thirteenth problem
google訳
ヒルベルトの第13問題は、1900年にダヴィド・ヒルベルトが編纂した有名なリストに記載されている23のヒルベルト問題のうちの1つである。この問題は、2変数の代数関数（変形：連続）を用いて、すべての7次方程式に解が存在するかどうかを証明することである。この問題は、ノモグラフィー、特に「ノモグラフィック構成」、すなわち2変数の関数を用いて多変数関数を構成する過程の文脈で初めて提示された。連続関数の変形は、1957年にウラジーミル・アーノルドがコルモゴロフ・アーノルドの表現定理を証明した際に肯定的に解決されたが、代数関数の変形は未解決のままである
導入
ウィリアム・ローワン・ハミルトンは、エーレンフリート・ヴァルター・フォン・チルンハウス（1683年）、エルランド・サミュエル・ブリング（1786年）、ジョージ・ジェラード（1834年）によって開拓された方法を用いて、1836年にすべての7次方程式が根号によって次の形に簡約できることを示した。
×7+a×3+b×2+c×+1＝0
この方程式に関して、ヒルベルトは、その解xを 3 つの変数a、b、c の関数として考えたとき、有限個の 2 変数関数の 合成として表現できるかどうかを問いました
歴史
アーノルドは後に志村五郎と共同で、この問題の代数バージョンに戻りました(Arnold and Shimura 1976)
(引用終り)
以上
860: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/26(月) 18:27:13.29 ID:/DIsdZXb(1/4) AAS
>>857
コルモゴロフといえば、ウラジーミル・アーノルドは
古典力学から生じた力学系やエルゴード理論で有名
861: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/26(月) 18:38:25.31 ID:/DIsdZXb(2/4) AAS
>>857
エルゴード理論は確率論の定常過程や
物理のエルゴード仮説の数学的な考察を基にした理論で
エルゴード理論の応用範囲は広い
数論にも応用は利く
862: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/26(月) 19:09:54.61 ID:/DIsdZXb(3/4) AAS
>>857
>×7+a×3+b×2+c×+1＝0
>この方程式に関して、ヒルベルトは、その解xを 3 つの変数a、b、c の関数として考えたとき、
>有限個の 2 変数関数の 合成として表現できるかどうかを問いました
ガロア理論の5以上の代数方程式の解をベキ根を用いて表せるか
という問いとは問題意識が違う
ヒルベルトはガロア理論は知った上でその問題を提起している
863: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/26(月) 19:25:23.87 ID:/DIsdZXb(4/4) AAS
>>857
5以上の代数方程式の解 → 5「次」以上の代数方程式の解
以上、誤字でした
864: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 19:28:03.25 ID:/ph39E0y(6/13) AAS
>>856-858
>5次方程式から、6次、7次へ 全部、ガロア理論が元になっている
>>859
>ガロア理論は、ラグランジュ分解式を包含し、それをはるかに超えた広がりを持つ
現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 君へ
Q1 君はガロア理論を「代数方程式を解く理論」と思って必死に勉強したんだね
（Yes/No）
Q2 しかしいくら勉強しても代数方程式が解けるようにならなかったんだね
（Yes/No)
はっきりいうけど
１．ガロア理論は「代数方程式を解く理論」ではないよ
ガロア理論は体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する理論
可解性も、「巡回拡大⇔べき根１つを追加した拡大」ということから発展したこと
２．したがって、ガロア理論だけいくらほじくっても、基本的に方程式は解けない
君が円分方程式すら解けなかったのがそのいい例
ということで、君の興味が「代数方程式の解の公式」にあるのなら
ガロア理論でその答えが得られることはないのだから、
このスレッドは以下のように改名した方がいいと思うが、賛成するかい？
「代数方程式の新しい解の公式と乗数イデアル他関連資料スレ」
865: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 19:28:54.52 ID:/ph39E0y(7/13) AAS
>>856-858
>5次方程式から、6次、7次へ 全部、ガロア理論が元になっている
>>859
>ガロア理論は、ラグランジュ分解式を包含し、それをはるかに超えた広がりを持つ
現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 君へ
Q1 君はガロア理論を「代数方程式を解く理論」と思って必死に勉強したんだね
（Yes/No）
Q2 しかしいくら勉強しても代数方程式が解けるようにならなかったんだね
（Yes/No)
はっきりいうけど
ガロア理論は「代数方程式を解く理論」ではないよ
ガロア理論は体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する理論
可解性も、「巡回拡大⇔べき根１つを追加した拡大」ということから発展したこと
したがって、ガロア理論だけいくらほじくっても、基本的に方程式は解けない
君が円分方程式すら解けなかったのがそのいい例
ということで、君の興味が「代数方程式の解の公式」にあるのなら
ガロア理論でその答えが得られることはないのだから、
このスレッドは以下のように改名した方がいいと思うが、賛成するかい？
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