[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
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847(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/26(月) 13:06:54.89 ID:JSdei1xM(1/4) AAS
Gは、素数p個からなる有限集合に忠実・推移的に作用する群とする。
忠実性は、Gが対称群S_pの部分群であれば、自動的にみたされる。
推移性は、Gが既約方程式のガロア群であれば、自動的にみたされる。
その上で
(0)Gは可解群である
⇔(1)Gはp次の巡回群をただ一つ含む
⇔(2)Gは有限体F_p上のアフィン群と同型である
⇔(3)単位元でないGの任意の元は、高々1個の固定点しか持たない
が成立する。
>>800の命題VIIは(2)と同値。命題VIIIは>>805で説明した通り(3)と同値。
セタさんの言う「ガロア第一論文の頂」は、上の(0)〜(3)の同値性を示せば登頂可能。
（(0)⇒(1)⇒(2)⇒(3)⇒(0)を示せばよい）
(1)⇒(2)のロジックはガロアが詳しく書いているが、面白いと思う。
854: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/26(月) 17:14:52.67 ID:JSdei1xM(3/4) AAS
訂正>>847
>(1)Gはp次の巡回群をただ一つ含む
より弱く「Gはp次の巡回群を正規部分群として含む」でもよい。
このようなp次巡回群がただ一つであることは、シローの定理からも分かる。
>(2)Gは有限体F_p上のアフィン群と同型である
正確には「アフィン群の部分群」ね。
F_p上の1次元アフィン変換群とは
a∈F_p^*, b∈F_pとして、x→ax+b
という変換で与えられる群。
p個の根を（適切な順序で）F_pの元で附番し、上記の変換で
引き起こされる置換を S_pの元と同一視する。
このとき、「単位元でない任意の置換に対して固定点は高々1個」
であることは、ax+b=x が a=1,b=0 を除いて
F_p上で高々1個しか解を持たないことから分かる。
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