[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
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796(2): １３２人目の素数さん [] 2025/05/25(日) 18:49:24.69 ID:WEnhjuaS(23/27) AAS
>>794
定理9.3の証明:
σ を G の生成元（の１つ）とすると
仮定より G = ⟨σ⟩ = {idL, σ, . . . , σ^(n−1)} となる．
1 の原始 n 乗根 ζ を１つ固定して，写像 h : L → L を
h(α) = α + ζσ(α) + · · · + ζ^(n−1)σ^(n−1)(α) (∀α ∈ L)
で定義する（h は体準同型とは限らない）．
h(α) はラグランジュの分解式 (Lagrange resolvent) と呼ばれる．
idL, σ, . . . , σ^(n−1) は相異なる L の自己同型だから，
命題 9.1 により hは 0 写像ではない．
すなわち，ある γ ∈ L が存在して h(γ) ≠ 0 となる．
ζ ∈ K, ζ^n = 1,σ^n = idL を用いて
ζσ(h(γ))
= ζσ(γ) + ζ^2σ^2(γ) + · · · + ζ^nσ^n(γ)
= γ + ζσ(γ) + · · · + ζ^(n−1)σ^n−1(γ)
= h(γ)
すなわち σ(h(γ)) = ζ^(−1)h(γ) を得る．
従って，α = h(γ)^(−1) ∈ L とおけば，
σ(α)
= σ(h(γ)^−1) = σ(h(γ))^−1 = (ζ^−1h(γ))^−1 = ζh(γ)^−1
= ζα
が成立する．
従って a = α^n ∈ L とおけば
σ(a)
= σ(α^n) = σ(α)^n = (ζα)^n = ζ^nα^n
= a
を得る．
よって σ^j(a) = a も成立し G = {idL, σ, · · · , σn−1} であるから，
a は G の任意の元で固定される．
定理 7.1 により L ⊃ K の中間体と G の部分群とのガロア対応において
K と G が対応する (G = Gal(L/K) = Φ(K) より）から，
K = LG = Ψ(G) であり，a ∈ LG = K 従って x^n − a ∈ K[x] となる．
σ(α) = ζα と σ(ζ) = ζ （ζ ∈ K だから）より
j = 0, 1, . . . , n − 1 に対して帰納的に
σ^j(α)
= σ^(j−1)(σ(α)) = σ^(j−1)(ζα) = ζσ^(j−1)(α) = ζζ^( j−1)α
= ζ^jα
が成立することがわかるので，
G は x^n − a の根の集合 A = {α, ζα, . . . , ζn−1α} に推移的に作用している．
従って定理 9.2 により x^n − a は K 上既約である．
よって x^n − a の K上の分解体 F := K(α) は [F : K] = n を満たす．
一方，[L : K] = n かつ L ⊃ F だから，L = F = K(α) である．□
797: １３２人目の素数さん [] 2025/05/25(日) 18:59:39.46 ID:WEnhjuaS(24/27) AAS
>>796の概要
G= ⟨σ⟩ = {idL, σ, . . . , σ^(n−1)} の
生成順序に従った、ラグランジュ分解式hを定義し
h(γ)≠0となる元を選んでa=(h(γ)^(−1))^nとすると
σ(a)=aなので、a∈Kであり、x^n−aは既約なので
Lはx^n−aのガロア体と一致する
つまり、Kが1の原始根を含めば、
ラグランジュ分解式を使うことができて
べき根拡大＝巡回拡大
800(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/25(日) 21:11:01.67 ID:Pt4i9H9G(15/16) AAS
>>796
>1 の原始 n 乗根 ζ を１つ固定して，写像 h : L → L を
>h(α) = α + ζσ(α) + · · · + ζ^(n−1)σ^(n−1)(α) (∀α ∈ L)
>で定義する（h は体準同型とは限らない）．
>h(α) はラグランジュの分解式 (Lagrange resolvent) と呼ばれる．
ふっふ、ほっほ
ガロア第一論文を読めというのに
読まない・・・ というか読めないのだろう・・ね
>>650より
『彌永 「ガロアの時代 ガロアの数学」 第二部 数学篇
第3章 ガロアの主著』より
P248
命題VII
従って素数次の既約方程式力報号によって解けるためには，置換
xk,xαk＋b
によって不変な関数が有理的に知られることが必要かつ十分である．
命題VIII
定理：素数次の既約方程式が根号によって解かれるためには，そ
の任意の2つの根の有理関数としてすべての根が表せることが必
要十分である．
(引用終り)
これが、ガロア第一論文のピーク（頂き）である
で君に問うが、君の ラグランジュの分解式論で、この命題VII
と命題VIII を導け
それが出来たら 君の論を認める
なお、私は ガロアの使った ガロア分解式(>>661)の方が
使えると思うぜよｗｗ ；ｐ）
（全部 ガロア第一論文に書いてあることだがなｗｗｗ）
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