[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
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790(2): １３２人目の素数さん [] 2025/05/25(日) 17:53:09.90 ID:WEnhjuaS(19/27) AAS
>>787
＞ふっふ、ほっほ
君が分かった、というんなら卒業でいいよね
分かったというのは、具体的に言えば君が張ったリンクの資料の
12 方程式のべき根による可解性 の定理12.1の証明が
理解できたという意味だけどね
（引用始）
定理 12.1
K をすべての 1 のべき乗根を含むような C の部分体，
f(x) ∈ K[x] を 2 次以上の多項式とする．
このとき，方程式 f(x) = 0 が K 上べき根によって解けるための必要十分条件は
f(x) の K 上の分解体 L のガロア群 Gal(L/K) が可解群となることである．
（引用終）
793(1): １３２人目の素数さん [] 2025/05/25(日) 18:04:57.70 ID:WEnhjuaS(21/27) AAS
>>790
いきなり定理12.1じゃ、君、死ぬなｗ
ここまで戻ってあげよう 分かるかな
（引用始）
定理 9.1
K は C の部分体であり，1 の原始 n 乗根を含む，
すなわち Q 上の x^n − 1 の分解体を含むと仮定する．
a を 0 でない K の元として，x^n − a の K 上の分解体を L とする．
このとき，L ⊃ K のガロア群 G = Gal(L/K) は巡回群であり，
その位数は n の約数である．
特に x^n − a が K 上既約であれば，G は n 次巡回群である．
（引用終）
799(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/25(日) 20:50:14.76 ID:Pt4i9H9G(14/16) AAS
>>790
>f(x) の K 上の分解体 L のガロア群 Gal(L/K) が可解群となることである．
ふっふ、ほっほ
可解群の定義を確認しようね（下記）
”有限群の場合は、同値な定義として「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」というものもある”
ここの 有限群の場合 すべての商が素数位数の巡回群
って、意味分るかい？ｗ ；ｐ）
（『有限群の組成列の長さは有限であり、全ての単純アーベル群は素数位数の巡回群であるため、この定義は上の定義と同値である。』）
（多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する）
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4
可解群
定義
群 G が、すべての因子が可換であるような連正規列（英語版）をもつとき可解群という[2]。つまり部分群の列
G=G0≥G1≥⋯≥Gn=1
が存在して、各 0 ≤ k < n について Gk + 1 は Gk の正規部分群であり、かつ商群 Gk/Gk + 1 が可換であることをいう。
群 G の可解性は導来列
G=G(0)⊵G(1)⊵G(2)⊵⋯
が有限項で自明な部分群 1 に達することと定義もできる[3]。ここで各 k ≥ 0 について G(k + 1) は G(k) の交換子部分群 [G(k), G(k)] である。可解群 G に対して G(n) = 1 となる最小の n ≥ 0 を導来列の長さ (derived length) という。
任意の群 H とその正規部分群 N について、商群 H/N は N が H(1) を含むとき、かつそのときに限りアーベル群であるため、上の定義は同値である。
有限群の場合は、同値な定義として「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」というものもある。
有限群の組成列の長さは有限であり、全ての単純アーベル群は素数位数の巡回群であるため、この定義は上の定義と同値である。
ジョルダン・ヘルダーの定理より、一つの組成列が上記の性質を持つ場合、すべての組成列は同様に上記の性質を持つことが保証される。
多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。
無限群の場合は必ずしも同値ではない。たとえば、整数の加法群 Z のすべての非自明な部分群はZ自身と同型であるため、Zは組成列を持たないが、正規列{0,Z}を持ちその唯一の商 Z/0 は Zと同型（つまり可換）だから、可解群である。
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