[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
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650(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/23(金) 21:03:38.81 ID:cdCv3SZj(3/3) AAS
>>495 戻る
>自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで
>可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね
>まあ、たぶん教科書にもどっかに書いてあるんだろうけど
そこな 君が言っているのは
Lagrange resolvent による １のｐ条根のべき根解法だったね
そこね 下記のはてなブログ 〜3次・4次方程式のresolvent編〜
『そんなわけで、Lagrange resolventは面白いが、方程式を解くのに使える万能薬ではないのである』
を 百回音読してかみしめてね
そして、その後ろに引用した 彌永 第3章 ガロアの主著の
ガロア分解式 V = Aa+Bb+Cc+… を百回音読して 噛みしめてｗ ；ｐ）
(参考)
https://peng225.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/2018/02/12/223452
ペンギンは空を飛ぶ
2018-02-12
5次方程式の解を巡る旅 〜3次・4次方程式のresolvent編〜
Resolventを用いた方程式の解法
3次方程式の場合
Resolvent invariant
4次方程式の場合
f(x)の根をx1, x2, x3, x4
としたとき、resolvent invariantとして以下の式を考えてみる。
τ1=x1x2+x3x4
τ1は二面体群D4=⟨(1 2), (1 3 2 4)⟩
の作用に対しては不変であるが、それ以外の置換を作用させると以下のどちらかの式に変化する。
おまけ：Lagrange resolventとは
本筋とはあまり関係ないが、最後にLagrange resolventの話をしておこうと思う。私は本件の調査を始めるまで、高次方程式を解くにはLagrange resolventというすごいやつを使えば良いのだと思っていたが、実はそうではない。ここで今の私の理解を整理しておく。
略す
実は3次方程式を解く際に登場したU, VはLagrange resolventになっている。そのため、これらを3乗すると(3−1)!=2
通りの式に変化したと言うわけである。
一方、4次方程式ではLagrange resolventを利用していない。それは、変化のパターンが(4−1)!=6
通りとなってしまい、4次方程式を解くために6次方程式を解かなければならなくなるからである。
そんなわけで、Lagrange resolventは面白いが、方程式を解くのに使える万能薬ではないのである
(引用終り)
さて、そこで ガロアは考えたのだ
『彌永 「ガロアの時代 ガロアの数学」 第二部 数学篇
第3章 ガロアの主著』より
P235
補助定理II
重根のない任意の方程式が与えられたとし, a,b,c,..、
をその根とする．そのときこれらの根の(有理整)関数Vを作
り,(Vにおいて)根(a,b,c,･･)の順列をどのように換えても,
(Vの)値がすべて異なるようにすることができる．
例えば V = Aa+Bb+Cc+…とし,
A,B,C,…は適当に
選ばれた整数とすることもできる．
(引用終り)
ここの V = Aa+Bb+Cc+… は、今日では ガロア分解式と呼ばれるのです
651(2): １３２人目の素数さん [] 2025/05/24(土) 02:36:50.66 ID:yEGoU5Ff(1/8) AAS
>>650
>『そんなわけで、Lagrange resolventは面白いが、方程式を解くのに使える万能薬ではないのである』
>を 百回音読してかみしめてね
それは引用元のひとが完全な誤解をしているから。
>>645に書いたように、「アーベル群の指標」を使う必要がある。
S_4の正規部分群としてクラインの四元群Vというのがあり、S_4/V≅S_3.
S_3に対応する拡大は3次方程式の分解体と同値だろう。
そこで、Vに対応する拡大が問題になるが、これは2次巡回群の直積C_2×C_2
に同型であって、4次巡回群C_4とは異なることに注意しましょう。
引用元のひとは、正しい理解がないと言わざるを得ない。
「アーベル群の指標」を正しく用いれば、完璧に解けるはず。
ちなみにVの異なる指標は4つあるが、指標の取りうる値は±1のみであり
±iはあらわれない。
653(1): １３２人目の素数さん [] 2025/05/24(土) 07:17:20.69 ID:bcNTDQwA(1/22) AAS
>>650
> 戻る
なら、495じゃなく、>>536な
> Lagrange resolventは面白いが、方程式を解くのに使える万能薬ではない
536 の冒頭に
「n次方程式f(x)=0のガロア群が巡回群のとき」
って書いてあるの、味がするまで黙読して噛みしめてな
（ for next 文で百回とか回数指定するんじゃなく、 do until 文で理解したという終了条件満たすまで、な）
> ガロア分解式 V = Aa+Bb+Cc+…
536で、「(n次方程式の)ガロア群が位数nの巡回群のとき」に、
n個のラグランジュ分解式の値が
「基礎体の元と(1のn乗根)rで表された式のn乗根で表せる」
って書いてあるよな
で、君は「ガロア群がn次対称群のとき」に、
n!個のガロア分解式の値を、どうやって表すつもり？
どうやって
「オレ様はべき根を超えたぜ ガハハ ガハハ」
とラグランジュやヴァンデルモンドやガウスにマウントするつもり？
アーベルやガロアはそんな（一般的な）方法提示してないけどな
そこも、書いてないことが分かるまで黙読して噛みしめてな
数学書の読み方、会得してな
文章の読み方、会得してな
国語できないと、数学だけじゃなく
どんな学問も理解できんから
698(1): １３２人目の素数さん [] 2025/05/24(土) 23:48:25.49 ID:qLdpZZ2V(9/9) AAS
>>650 追加
(引用開始)
https://peng225.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/2018/02/12/223452
ペンギンは空を飛ぶ
2018-02-12
5次方程式の解を巡る旅 〜3次・4次方程式のresolvent編〜
おまけ：Lagrange resolventとは
本筋とはあまり関係ないが、最後にLagrange resolventの話をしておこうと思う。私は本件の調査を始めるまで、高次方程式を解くにはLagrange resolventというすごいやつを使えば良いのだと思っていたが、実はそうではない。ここで今の私の理解を整理しておく。
略す
実は3次方程式を解く際に登場したU, VはLagrange resolventになっている。そのため、これらを3乗すると(3−1)!=2
通りの式に変化したと言うわけである。
一方、4次方程式ではLagrange resolventを利用していない。それは、変化のパターンが(4−1)!=6
通りとなってしまい、4次方程式を解くために6次方程式を解かなければならなくなるからである。
そんなわけで、Lagrange resolventは面白いが、方程式を解くのに使える万能薬ではないのである
(引用終り)
五次方程式 ja.wikipedia から 参考追加（上下の添え字が 5ch”便所板”では写せないので原文を見るよう）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%94%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
五次方程式
限定的な代数的解法
一般の5次方程式が代数的には解かれないということは、上記に示したとおりであるが、特定の五次方程式がどのような場合に解けるかについては分かっている。ラグランジュが3次、4次で用いた手法をそのまま持ち込んだ場合、
αiを元の方程式の根として、
x=(α1+ζα2+ζ2α3+ζ3α4+ζ4α5)5
(ただし ζ は1の原始5乗根)
の置換を考察することになるが、この場合5次対称群の位数は120で、出現する式は5次巡回群の位数=5で割った24通りである。つまりその為に解かなければならない
xの方程式は24次のものとなり、次数が5次よりも高くなり，困難の程度がはるかに増す。
そこでより位数の低い置換を与えるような式を考察する必要があるが、これは1861年にアーサー・ケイリーが与えたものが最良となる。
x=(α1α2+α2α3+α3α4+α4α5+α5α1−α1α3−α2α4−α3α5−α4α1−α5α2)2
この場合に置換により現れる式の値は6通りであり、
xの6次方程式を解くことに帰着する。
もちろんこれを代数的に解くことは一般的な状況では不可能であるが、
根の平方が有理数となる場合に限り、実質的な次数が下がり、代数的に解ける。
その後は3次、4次のラグランジュの解法と同様にして元の方程式の根が得られる。
これが五次方程式が代数的に（四則と開冪で）解かれるための必要十分条件である
(引用終り)
繰り返すが、上記の通り”Lagrange resolventは面白いが、方程式を解くのに使える万能薬ではないのである”
一方、ガロア理論は 方程式の次数や 可解か否かに関係なく 使える万能薬である！
これ分ってない オチコボレさんが います！ｗ
800(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/25(日) 21:11:01.67 ID:Pt4i9H9G(15/16) AAS
>>796
>1 の原始 n 乗根 ζ を１つ固定して，写像 h : L → L を
>h(α) = α + ζσ(α) + · · · + ζ^(n−1)σ^(n−1)(α) (∀α ∈ L)
>で定義する（h は体準同型とは限らない）．
>h(α) はラグランジュの分解式 (Lagrange resolvent) と呼ばれる．
ふっふ、ほっほ
ガロア第一論文を読めというのに
読まない・・・ というか読めないのだろう・・ね
>>650より
『彌永 「ガロアの時代 ガロアの数学」 第二部 数学篇
第3章 ガロアの主著』より
P248
命題VII
従って素数次の既約方程式力報号によって解けるためには，置換
xk,xαk＋b
によって不変な関数が有理的に知られることが必要かつ十分である．
命題VIII
定理：素数次の既約方程式が根号によって解かれるためには，そ
の任意の2つの根の有理関数としてすべての根が表せることが必
要十分である．
(引用終り)
これが、ガロア第一論文のピーク（頂き）である
で君に問うが、君の ラグランジュの分解式論で、この命題VII
と命題VIII を導け
それが出来たら 君の論を認める
なお、私は ガロアの使った ガロア分解式(>>661)の方が
使えると思うぜよｗｗ ；ｐ）
（全部 ガロア第一論文に書いてあることだがなｗｗｗ）
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