[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
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536(7): １３２人目の素数さん [] 2025/05/21(水) 18:28:42.60 ID:ER8eZebp(3/12) AAS
n次方程式f(x)=0のガロア群が巡回群のとき
１．解を一つ選び出し、これをs_0と表す
２．巡回群の生成元aを一つ選びだし、s0にaを反復適用してできた解をs_1,…,s_n-1と表す
３．１の原始ｎ乗根をrと表し、s_0,…,s_n-1の以下の線形結合をつくる
s_0+s_1+…+s_n-1=t_0
s_0+r*s_1+…+r^(n-1)*s_n-1=t_1
s_0+r^2*s_1+…+r^(2*(n-1))*s_n-1=t_2
…
s_0+r^(n-1)*s_1+…+r^((n-1)*(n-1))*s_n-1=t_n-1
４．このとき、上記のt_1〜t_n-1のn乗はガロア群で不変であることから、s_0〜s_n-1を使わず、四則演算とrを使って表せる
（実際、計算するとそのようになる） したがってt_1〜t_n-1は、基礎体の元とrで表された式のn乗根で表せる
５．あとは３のn元線形連立方程式を解けば根s_0〜s_n-1が求まる！
４．のところがガウスの発見（いってしまえば、これだけ！）
可解群は「巡回群の積み重ね」なので、上記の手続きを反復適用すれば解ける
（だからガロアは解き方については何も言ってない！）
539: １３２人目の素数さん [] 2025/05/21(水) 18:47:08.39 ID:ER8eZebp(6/12) AAS
補足
>>536では、t_1〜t_n-1がそれぞれn乗根で表せると書いたが（もちろん嘘でないが）
実際はt_2〜t_n-1は、t_1を使って表せるので、n乗根は一つでいい
541(3): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/21(水) 19:02:34.26 ID:I/FRxz61(9/11) AAS
>>536
3.の部分が、現代記法では
Σ_{σ∈G}χ(σ)(s_0)^σ
とあらわせる。Gは巡回群であり、χはGの指標、(s_0)^σはs_0へのσ∈Gの作用をあらわす。
このことが、「ちゃんとした本」には書いてあるはず。
これは、「方程式の根たち」= G上の"函数" を、Gの双対群である指標群上の函数
に写す"フーリエ変換"である という話をしたら
「そんなこと聞いたことない！（泣）」と発〇したのがセタさん。
653(1): １３２人目の素数さん [] 2025/05/24(土) 07:17:20.69 ID:bcNTDQwA(1/22) AAS
>>650
> 戻る
なら、495じゃなく、>>536な
> Lagrange resolventは面白いが、方程式を解くのに使える万能薬ではない
536 の冒頭に
「n次方程式f(x)=0のガロア群が巡回群のとき」
って書いてあるの、味がするまで黙読して噛みしめてな
（ for next 文で百回とか回数指定するんじゃなく、 do until 文で理解したという終了条件満たすまで、な）
> ガロア分解式 V = Aa+Bb+Cc+…
536で、「(n次方程式の)ガロア群が位数nの巡回群のとき」に、
n個のラグランジュ分解式の値が
「基礎体の元と(1のn乗根)rで表された式のn乗根で表せる」
って書いてあるよな
で、君は「ガロア群がn次対称群のとき」に、
n!個のガロア分解式の値を、どうやって表すつもり？
どうやって
「オレ様はべき根を超えたぜ ガハハ ガハハ」
とラグランジュやヴァンデルモンドやガウスにマウントするつもり？
アーベルやガロアはそんな（一般的な）方法提示してないけどな
そこも、書いてないことが分かるまで黙読して噛みしめてな
数学書の読み方、会得してな
文章の読み方、会得してな
国語できないと、数学だけじゃなく
どんな学問も理解できんから
665: １３２人目の素数さん [] 2025/05/24(土) 10:02:21.25 ID:bcNTDQwA(7/22) AAS
>>536で述べたような解法は、線形代数の応用、としては面白いけど、
代数方程式の解法としての実用性はない
競技プログラミングでいう●色コードみたいなもんよ
680: １３２人目の素数さん [] 2025/05/24(土) 15:46:39.23 ID:bcNTDQwA(13/22) AAS
>>674
>『複雑そうに見えるところをシンプルに理解する
> これが数学的な考え方の一つ』
その例として>>536読んでな
ここでの数学の要点は４．の
「…のn乗はガロア群で不変であることから、
s_0〜s_n-1を使わず、四則演算とrを使って表せる
したがって…は、基礎体の元とrで表された式のn乗根で表せる」
そこを理解することが数学な
そこを放擲するなら…数学捨てたってことな
プロアスリートになるか、ジョギングでいいとするか、の違いな
695(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/24(土) 21:00:06.56 ID:yEGoU5Ff(7/8) AAS
>>651
>「アーベル群の指標」を正しく用いれば、完璧に解けるはず。
古典理論の中に既に答えがあった。（高木貞治著『代数学講義』参照）
一般4次方程式の4つの根、x_1,x_2,x_3,x_4 に対して
S_4の正規部分群Vについての（一般化された）ラグランジュ分解式は
x_1+x_2+x_3+x_4, x_1+x_2-x_3-x_4, x_1-x_2+x_3-x_4, x_1-x_2-x_3+x_4
の4つ。最初の式はそれ自体対称式、残り3つはVの作用によって±1倍の違いが生じる。
したがって、その2乗たちはVの作用で不変で、係数体上のある3次方程式の根になる。
だから、まずこの3次方程式を解いて、その平方根から上の後者3つの量が得られる。
最初の一つは元の4次方程式の係数からそのまま得られる。
あとは、>>536と同様に連立一次方程式に帰するから、x_1,x_2,x_3,x_4が求められる。
713: １３２人目の素数さん [] 2025/05/25(日) 07:08:52.96 ID:WEnhjuaS(1/27) AAS
>>698
>繰り返すが、…ガロア理論は 方程式の次数や 可解か否かに関係なく
>(解くのに)使える万能薬である！
誤り
万能薬＝いかなる(代数)方程式も(べき根で)解ける
という意味なら、そうではないので嘘
解ける方程式は解ける、という意味なら同語反復なので無意味
もちろん、ガロア理論は、どんな(代数)方程式が(べき根で)解けるか
条件を示しているから意味がある
その条件が「ガロア群が可解群」
そして可解群とは
１．群から正規部分群を取っていくという操作を有限回繰り返して単位群にできる
２．群を正規部分群で割った剰余群が巡回群となる
という２つの条件を満たすもの
なぜ、それなら(べき根で)解けるか、といえば２．が本質
つまり各剰余群に対応する補助方程式がラグランジュ分解式を使って
>>536の方法で解けるから
円分方程式はまさにガロア群が巡回群となる典型例
>>536の２．で
「巡回群の生成元aを一つ選びだし、s0にaを反復適用してできた解をs_1,…,s_n-1と表す」
と書いたが、これで一般にｎ！通り考えられる解の順列がｎ通りに縮小されている
”5次対称群の位数は120で、出現する式は5次巡回群の位数=5で割った24通りである。”
だが5次巡回群の位数は5で、出現する式は5次巡回群の位数=5で割った1通り！
ちゃんとよめば、前提条件は書いてある
読み落とすのは文章読めてない証拠
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