[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
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505(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/21(水) 07:53:04.30 ID:+3NhFfLb(1/3) AAS
>>502
>>>501 そこはガロア以前のガウスが見つけたことだからさ
>探すの面倒だから、命題1とその例示の10行、ここに書いてくれる？それが一番話早いからさ
うむ
ここを見ている他の人にも参考になるだろうから
『彌永 「ガロアの時代 ガロアの数学」 第二部 数学篇
第3章 ガロアの主著』P237より
命題I
定理 α,b,c,･･・を、m個の根としてもつ方程式が与えられたとしよう．
そのときいつも次の性質1,2をもつα,b,c,･･・の置換から成る群がある．
1. 根の関数でこの群の置換によって変わらないものは，必ず有理的に知られる．
2. 逆に有理的に決定される根の関数は，この群の置換によって変わらない．
（代数方程式の場合は，この群は1・2・・・・m(= m!)個のm個
の文字のすべての置換から成る群にほかならない．その場合，根
の有理的に知られる関数は対称関数だけであるからである.）
（方程式(x^m-1)/(x-1)＝0の場合は、gを(mod nの)原始根(γを1の
原始n乗根)としα=r,b=r^g,C =r^g^2,・・・とすれば，その群は
単に
a,b,c,d,･･･,k
b,c,d,･･･,k,a
c,d,･･･,k,a,b
・・・
k,a,b,・・・,i
となる．この特別な場合には，順列の数は方程式の次数に等しい．
これと同じことは，すべての根が1つの根の有理関数として表さ
れる場合に対して成り立つであろう.）
証明 与えられた方程式がどんな方程式であっても，（上に示した
ように)根の(有理)関数Vであって，すべての根がVの有理関数
として表されるようなものを見出すことができる．そこでVを根
以下略す
(引用終り)
上記で、方程式(x^m-1)/(x-1)＝0 以下 成り立つであろう までの約10行がそれだよ
そして、命題は8番まである。命題Iは、当然ながら 冒頭部分にすぎない
繰り返すが 一度、ガロア第一論文を読んでみて(>>501)
”自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで
可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね
まあ、たぶん教科書にもどっかに書いてあるんだろうけど"
が、滑っているのが分るよ
（なお 上記”方程式(x^m-1)/(x-1)＝0”が、1のべき根を求める式であることは 自明だが、中高一貫生のために 注意しておく）
追伸
>>504 ID:4hfas3rf は、御大か
巡回ありがとうございます
506(2): １３２人目の素数さん [] 2025/05/21(水) 08:04:09.40 ID:4vJggA9n(1/2) AAS
>>504
顰蹙買ってるの、あんただよ
>>505
>…が、滑っているのが分るよ
なんか、余計な一言書かないと気が済まないんだねぇ 君は
さて、引用に関しては、ありがとうと礼いっとくわ
ボクらは君と違って、礼儀を心得てるからさ
で、君が引用した箇所は、
方程式(x^m-1)/(x-1)＝0のガロア群が位数(m-1)の巡回群であること
を述べてるだけで、それが可解であることは示してないと思うけど
>>495が云ってるのは上記の場合、可解となることだよね
それは書いてあるの？
今の返答のままだと、滑ってるのは君のほうだね
これ、余計でもなんでもない一言
508(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/21(水) 08:16:52.15 ID:+3NhFfLb(2/3) AAS
>>505 タイポ訂正
（方程式(x^m-1)/(x-1)＝0の場合は、gを(mod nの)原始根(γを1の
↓
（方程式(x^m-1)/(x-1)＝0の場合は、gを(mod nの)原始根(rを1の
追伸
実は、本をコピーして それをスキャナーでOCRしたんだ
で、rをγと スキャナーOCRが、誤読したようだね
いや、勿論 スキャナーOCR だと、こういう数学本はまともには OCRできない
なので、結構手直ししたが、スクラッチで写経するよりも 随分楽なのですが
r→γ は、見落としていたよ
520(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/21(水) 10:38:44.47 ID:byug+qYO(1/6) AAS
>>511-519
ふっふ、ほっほ
>>505より
”自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで
可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね
まあ、たぶん教科書にもどっかに書いてあるんだろうけど"（>>495より）
が、滑っているのが分るよ
まあ、ここはいろんな人が来るだろう
中高一貫生も来るかもしれない
滑ったカキコには、赤ペン先生だよ！！ｗ ；ｐ）
さて、ガロアの代数方程式論の到達点は、彌永本にもあるが
下記の 高瀬正仁氏も書かれている通り
(参考)
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/284813/1/B92-02.pdf
アーベルの代数方程式論 高瀬正仁 RIMS B92 2023
ガロアが明示した判定基準は1846年の論文
「方程式の冪根による可解条件について」（まえがきの末尾に1831年1月16日という日付が附されている．
『リューヴィユの数学誌』2，第11巻，1846，417-433頁）
に書き留められている．
ガロアの言葉をそのまま引くと，ガロアが得た判定基準は次のとおりである．
素次数既約方程式が冪根を用いて解けるためには，諸根のうちの任意の二つが判明したとき，
他の根がそれらの根から有理的に導出されることが必要かつ十分である．
（『リューヴィユの数学誌』，第11巻，432頁）
ガロアの代数方程式論の到達点がここに示されている．
(引用終り)
で、諸君に問う
君らのいう ガウスの円分理論から このガロアの到達点
”素次数既約方程式が冪根を用いて解けるためには，諸根のうちの任意の二つが判明したとき，
他の根がそれらの根から有理的に導出されることが必要かつ十分である”
を導いてみせろ！ｗ ；ｐ）
ついでに、 下記 大迎規宏 ”可解な5次方程式について”を貼っておく
これ見てもいいよ
これ、以前 旧ガロアすれで取り上げたことがあるんだ
（一時 検索でヒットしなくなっていたが（キーワードが不適切だったかも）、今回見つけたので リンクを貼付けします！ ）
(参考)
https://hyogo-u.repo.nii.ac.jp/record/5251/files/ZD30301003.pdf
可解な5次方程式について 兵庫教育大学学術情報リポジトリ
大迎規宏 著 · 2003 — である．この根は係数α，δ，cから四則演算とベキ根をとる操作のみを使って表示されてい. る．このときベキ根によって根が表示されるという．3次方程式はCardano（1501−76）に ...
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