ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

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495(9): １３２人目の素数さん [] 2025/05/20(火) 18:30:42.01 ID:RghBqZpa(2/3) AAS
>>491
> その後、矢ケ部先生の数III方式ガロアの理論を見つけて、
> こいつはレベルの低いところから書いてくれているので、これはなんとか読めて
> でももやっとしているところが残ったが、
> 「ガロアを読む―第1論文研究」倉田令二朗で補って（これも何回も読んだ）
> そのあとは、寺田先生のアルティン本とかいろいろ読みました
> いま、Cox のガロワ理論上下が、良いと思っています

ふーん

自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで
可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね
まあ、たぶん教科書にもどっかに書いてあるんだろうけど

501(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/20(火) 23:02:34.35 ID:/ggFtFPX(5/5) AAS
>>495
>自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで
>可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね
>まあ、たぶん教科書にもどっかに書いてあるんだろうけど

そこな
一度、ガロア第一論文を読んでみて

和書なら彌永「ガロアの時代ガロアの数学」第二部数学篇
第3章ガロアの主著
にある

英文訳ならネットのどこかに落ちているだろう
なお
1のｎ乗根の話は、第一論文では命題Iの単なる例示として
わずか10行で説明されて終わっている

506(2): １３２人目の素数さん [] 2025/05/21(水) 08:04:09.40 ID:4vJggA9n(1/2) AAS
>>504
顰蹙買ってるの、あんただよ
>>505　
>…が、滑っているのが分るよ
なんか、余計な一言書かないと気が済まないんだねぇ　君は

さて、引用に関しては、ありがとうと礼いっとくわ
ボクらは君と違って、礼儀を心得てるからさ

で、君が引用した箇所は、
方程式(x^m-1)/(x-1)＝0のガロア群が位数(m-1)の巡回群であること
を述べてるだけで、それが可解であることは示してないと思うけど

>>495が云ってるのは上記の場合、可解となることだよね
それは書いてあるの？

今の返答のままだと、滑ってるのは君のほうだね
これ、余計でもなんでもない一言

520(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/21(水) 10:38:44.47 ID:byug+qYO(1/6) AAS
>>511-519

ふっふ、ほっほ
　>>505より
”自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで
　可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね
　まあ、たぶん教科書にもどっかに書いてあるんだろうけど"（>>495より）
が、滑っているのが分るよ

まあ、ここはいろんな人が来るだろう
中高一貫生も来るかもしれない
滑ったカキコには、赤ペン先生だよ！！ｗ；ｐ）

さて、ガロアの代数方程式論の到達点は、彌永本にもあるが
下記の高瀬正仁氏も書かれている通り

(参考)
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/284813/1/B92-02.pdf
アーベルの代数方程式論高瀬正仁 RIMS B92 2023

ガロアが明示した判定基準は1846年の論文
「方程式の冪根による可解条件について」（まえがきの末尾に1831年1月16日という日付が附されている．
『リューヴィユの数学誌』2，第11巻，1846，417-433頁）
に書き留められている．
ガロアの言葉をそのまま引くと，ガロアが得た判定基準は次のとおりである．
素次数既約方程式が冪根を用いて解けるためには，諸根のうちの任意の二つが判明したとき，
他の根がそれらの根から有理的に導出されることが必要かつ十分である．
（『リューヴィユの数学誌』，第11巻，432頁）
ガロアの代数方程式論の到達点がここに示されている．
(引用終り)

で、諸君に問う
君らのいうガウスの円分理論からこのガロアの到達点
”素次数既約方程式が冪根を用いて解けるためには，諸根のうちの任意の二つが判明したとき，
他の根がそれらの根から有理的に導出されることが必要かつ十分である”
を導いてみせろ！ｗ；ｐ）

ついでに、下記大迎規宏 ”可解な5次方程式について”を貼っておく
これ見てもいいよ
これ、以前旧ガロアすれで取り上げたことがあるんだ
（一時検索でヒットしなくなっていたが（キーワードが不適切だったかも）、今回見つけたのでリンクを貼付けします！）
(参考)
https://hyogo-u.repo.nii.ac.jp/record/5251/files/ZD30301003.pdf
可解な5次方程式について兵庫教育大学学術情報リポジトリ
大迎規宏著 · 2003 — である．この根は係数α，δ，cから四則演算とベキ根をとる操作のみを使って表示されてい. る．このときベキ根によって根が表示されるという．3次方程式はCardano（1501−76）に ...

521: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/21(水) 11:08:34.87 ID:byug+qYO(2/6) AAS
>>520 補足

数学史家の高瀬正仁氏は、下記のように
ガロアの理論に対するガウスの影響を論じていて
結構独自説っぽいけど、否定もできないだろう
（実際、第一論文でもガウスに言及しているし、遺書で「ガウスに意見を聞いてくれ」と言っているくらいだから）

だが、”自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで
　可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね
　まあ、たぶん教科書にもどっかに書いてあるんだろうけど"（>>495より）
が、滑っているもまた確かだろうｗ；ｐ）

(参考) 順不同
http://reuler.blog108.エフシー2.com/blog-entry-1316.html?sp
日々のつれづれオイラー研究所所長高瀬正仁
リーマンを語る131.　ラグランジュの「省察」とガウスの円周等分方程式論 2011/02/28
代数方程式論の通常の歴史叙述では、なぜかガウスの影は非常に薄く、せいぜいのところ円周等分方程式を代数的に解いたことが紹介される程度に留まります。基幹線はあくまでもラグランジュからガロアにいたる道筋であり、その途中に、ガウスの円周等分方程式とアーベルの「不可能の証明」とアーベル方程式の話題がはさまります。ガロア理論から出発すれば円周等分方程式の代数的可解性などはたちどころに明らかになってしまいますし、アーベル方程式についても同様です。ラグランジュの「省察」の確信が「置換」の考察にあるというので、置換の一般論を展開したコーシーにも言及されたりするのですが、ガウスとアーベルは、何と言うか、おもしろいエピソードというくらいの位置を占めるという程度でしょうか。
　そこでこの通説に対して異論を提出したいと思います。ラグランジュのように根の置換を考察しても、それだけでは「不可能の証明」はできませんし、ルフィニが試みてついに失敗に終ったのもそのためでした。それに、そもそもラグランジュには「不可能の証明」が成立するという考えはありませんでした。ここはやはり、代数的可解性の成立を左右する根本の要因は何か、という問いを問わなければならないところですし、それは「根の相互関係」であることをはっきりと認識したのはガウスです。
　ガウスはこの認識に基づいて円周等分方程式を代数的に解いて見せましたが、その解き方はガロア理論による解法とそっくり同じです。これをガロア理論のやさし適用例と見るのは間違いで、ガウスの解き方を見たガロアがガウスからガロア理論を抽出したと見るのが正解です。ガロア理論の源泉はラグランジュではなくガウスであることを、ここでもう一度強調しておきたいと思います。

つづく

525(2): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/21(水) 11:53:07.65 ID:I/FRxz61(7/11) AAS
>素次数既約方程式が冪根を用いて解けるためには，諸根のうちの任意の二つが判明したとき，
>他の根がそれらの根から有理的に導出されることが必要かつ十分である

セタさんはこの命題が、方程式から離れて
有限集合（p個）に忠実・推移的に作用する群に関する命題
として完全に記述できることは理解できますかね？

>だが、”自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで
>　可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね
>　まあ、たぶん教科書にもどっかに書いてあるんだろうけど"（>>495より）
>が、滑っているもまた確かだろうｗ；ｐ）

いやまったく滑ってなく、本質を突いている。
ガロア群が巡回群の場合にべき根で解く方法が基本になっていること
は確かだし、ガロア原論文における真実でもある。
可解群の意味は、「巡回群を積み重ねて到達できる」ということ。
ラグランジュ分解式を1回も使えないひとが、複数回使って
方程式が解けるわけがない。セタさんはそもそも
「ガロア群が巡回群であるとき、どうやってべき根で解くの分かってないでしょう」
と指摘されている。

650(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/23(金) 21:03:38.81 ID:cdCv3SZj(3/3) AAS
>>495 戻る
>自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで
>可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね
>まあ、たぶん教科書にもどっかに書いてあるんだろうけど

そこな君が言っているのは
Lagrange resolvent による１のｐ条根のべき根解法だったね
そこね下記のはてなブログ〜3次・4次方程式のresolvent編〜
『そんなわけで、Lagrange resolventは面白いが、方程式を解くのに使える万能薬ではないのである』
を百回音読してかみしめてね
そして、その後ろに引用した彌永第3章ガロアの主著の
ガロア分解式 V = Aa+Bb+Cc+… を百回音読して噛みしめてｗ　；ｐ）

(参考)
https://peng225.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/2018/02/12/223452
ペンギンは空を飛ぶ
2018-02-12
5次方程式の解を巡る旅〜3次・4次方程式のresolvent編〜

Resolventを用いた方程式の解法

3次方程式の場合
Resolvent invariant

4次方程式の場合
f(x)の根をx1, x2, x3, x4
としたとき、resolvent invariantとして以下の式を考えてみる。
τ1=x1x2+x3x4
τ1は二面体群D4=⟨(1 2), (1 3 2 4)⟩
の作用に対しては不変であるが、それ以外の置換を作用させると以下のどちらかの式に変化する。

おまけ：Lagrange resolventとは
本筋とはあまり関係ないが、最後にLagrange resolventの話をしておこうと思う。私は本件の調査を始めるまで、高次方程式を解くにはLagrange resolventというすごいやつを使えば良いのだと思っていたが、実はそうではない。ここで今の私の理解を整理しておく。
略す

実は3次方程式を解く際に登場したU, VはLagrange resolventになっている。そのため、これらを3乗すると(3−1)!=2
通りの式に変化したと言うわけである。

一方、4次方程式ではLagrange resolventを利用していない。それは、変化のパターンが(4−1)!=6
通りとなってしまい、4次方程式を解くために6次方程式を解かなければならなくなるからである。

そんなわけで、Lagrange resolventは面白いが、方程式を解くのに使える万能薬ではないのである
(引用終り)

さて、そこでガロアは考えたのだ
『彌永「ガロアの時代ガロアの数学」第二部数学篇
第3章ガロアの主著』より
P235
補助定理II
重根のない任意の方程式が与えられたとし, a,b,c,..、
をその根とする．そのときこれらの根の(有理整)関数Vを作
り,(Vにおいて)根(a,b,c,･･)の順列をどのように換えても,
(Vの)値がすべて異なるようにすることができる．
例えば V = Aa+Bb+Cc+…とし,
A,B,C,…は適当に
選ばれた整数とすることもできる．
(引用終り)
ここの V = Aa+Bb+Cc+… は、今日ではガロア分解式と呼ばれるのです

661(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/24(土) 09:44:38.79 ID:qLdpZZ2V(1/9) AAS
>>651-654
ほんと、こいつらガロアの代数方程式の理論をなんにも分ってないなぁ〜！ｗ

”さて、そこでガロアは考えたのだ
ここの V = Aa+Bb+Cc+… は、今日ではガロア分解式と呼ばれるのです”
ここが一丁目一番地

当時、体の理論は無かったからガロアはガロア分解式V = Aa+Bb+Cc+… を
体の理論の代用として使った（後の数学者デデキントたちが体の理論に書き換えた）

ガロアはここから彼の代数方程式の理論を
今で言う抽象的な群と体の理論として展開していく

それが、現代に繋がる抽象代数学の原点なのです
これについては、下記の玉川安騎男「ガロア理論とその発展」をご覧あれ
（グロタンディークもこの一つ例にすぎないのです）

”自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで
可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね”>>495
って、視点が低すぎるよ。大局観がなさすぎｗ；ｐ）

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H18-tamagawa.pdf
平成18年度(第28回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所平成18年7月)
ガロア理論とその発展玉川安騎男

§0. はじめに
ガロア理論とは、Evariste Galois (1811-1832) によって創始された、代数方程式の解の置換に関する理論です。その基本定理は「体」と「群」という代数学の基本概念を用いて述べることができ、現在でも整数論の研究の中で最も基本的な道具の１つであり続けています。

つづく

699(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/25(日) 00:08:33.39 ID:Pt4i9H9G(1/16) AAS
>>661 追加
>”自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで
>可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね”>>495
>って、視点が低すぎるよ。大局観がなさすぎｗ；ｐ）

大局観は、実力によって変わる（ヘボ、初級者、有段者、高段者、プロなどでね）
だが、大局観を意識して身につけないといつまでも ”ヘボ”だよ

大局観は、しばしば読みの力に裏付けられている場合がある
（死活がからむとかしのぎの有無など。謎の数学者氏がいう MM(数学成熟度) だね（下記））

だが、”ヘボ”の時代から大局観を意識していないとダメなのよ
そうしないといつまでも数学”ヘボ”だよ

(参考)動画（URLは略す。自分で検索頼む）
10:13
YouTube · 謎の数学者
「数学的成熟度」をもう少し具体的に説明。MM ...
YouTube · 謎の数学者
2021/02/22

3:53
YouTube · 謎の数学者
数学者としてのレベルを図る尺度は「数学的成熟度 ...
YouTube · 謎の数学者
2021/02/21

5:35
YouTube · 謎の数学者
「数学的成熟度」と数学の知識の具体例。
YouTube · 謎の数学者
2021/02/22

8:56
YouTube · 謎の数学者
数学者になるための才能とは？
YouTube · 謎の数学者
2021/02/22

928: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/27(火) 17:23:25.61 ID:1caOziMJ(4/4) AAS
>>920
>>>919　生身の人間のほうがＡＩよりもおかしなことをいう　まあＡＩは病気にはならないか

死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツさん、ありがとうございます。
スレ主です。

そこね典型例は（>>495 より）
"自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで
可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね
まあ、たぶん教科書にもどっかに書いてあるんだろうけど"

これって、完全に
落ちコボレの
ハルシネーションでしたね（下記）ｗ；ｐ）

(参考)
https://www.nri-secure.co.jp/glossary/hallucination
NRIセキュア
セキュリティ用語解説
ハルシネーション
ハルシネーションとは、AI(人工知能)が誤認や論理の矛盾を含む事象や事実とは異なる情報を作り出してしまう現象のことです。精密かつ信ぴょう性のある情報の中に誤った情報が混ざるため、ハルシネーションによる誤った情報をうのみにしてしまうケースもあります。

誤った情報が入力される場合にのみ、不正確な出力が生じると誤解されることもありますが、実際はさまざまな要因からハルシネーションは発生します。AIでは、次に出現する可能性が高い単語を予測することで文章を生成しており、正確性より文脈が重視されるため、自然な回答を目指して情報が生成されることによって、ハルシネーションが引き起こされます。他にも、学習に使用されるデータが古い場合にも、同様の出力が生じることがあります。また、AIでは理解できない質問に対しては、推測から情報を強引に生成され、ハルシネーションが引き起こされることがあります。

ハルシネーションへの対策には、まずは「ハルシネーション」という現象を十分に理解することに加え、利用者がAIからの回答を注意深く調査し、情報の正確さと信ぴょう性を確かめることが必要となります。また、組織的にAIの利用を促進する場合にも注意が必要です。正しくAIを利用してもらうためには、正しい利用方法の積極的な周知だけではなく、注意点や責任範囲などを詳細に定義し、ガイドラインを策定することが効果的です。

さらに、ハルシネーションの発生を抑えるために有効的なアプローチを紹介します。
一つ目は、「精密な学習データの入力」です。より詳細な情報を追加することや、様々なとらえ方を生む曖昧な情報の削除によって、ハルシネーションの発生を抑えることが可能です。
二つ目は、「複数のAIの利用」です。ChatGPTやGoogle Geminiなど複数のAIを利用し、同じ学習データから出力される情報を比較することで、ハルシネーションの発生が確認できます。
三つ目は、「AIの検索機能の利用」です。Bing AIなどの検索機能を持つAIでは、関連した情報をリアルタイムで検索して回答を生成します。検索から引用された情報に誤りを含むケースもあり、利用には注意が必要となりますが、複数の最新の情報から回答が生成されるため、比較的ハルシネーションを抑制できます。

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