[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
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355(2): １３２人目の素数さん [] 2025/05/15(木) 09:55:03.61 ID:6c3Tb1kW(2/4) AAS
この機械翻訳の抜粋
多項式方程式の超カタラン級数解とジオード
https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2025.2460966
エヴァリスト・ガロワによって拡張されたアーベル・ルフィニの定理は、5次以上の一般多項式方程式の根号解が存在しないことを示しました。
数学を学ぶ人々は、このことから4次と5次のケースの間に大きな違いがあり、単に複雑な場合と不可能な場合を区別しているように思われます。
ガロワ理論が様々な方向に発展してきたため、これらの問題のさらなる研究は、現在では歴史的な性質のものとなっています。
私たちはこのテーマを復活させ、それが注目すべき組み合わせ幾何学と密接な関係があることを示し、それによって、根号やガロア理論の解法に関する古典的な研究を回避して、代数方程式を解くことが実際に何を意味するのかを劇的に再考することを可能にします。
第9節では、一般五次解を書き、それを用いてブリング根号のアイゼンシュタイン級数を復元し、第10節ではラグランジュに戻って級数の逆変換との自然な関係性について議論する。
我々が強調したい中心的な代数的対象は、超カタラン生成級数である。
第11節では、この注目すべき新しい代数的対象について、いくつかの説得力のある予想を提示する。
純粋数学の他の分野において、形式的冪級数は、実際には具体的に評価できない関数に代数的かつ組合せ論的に明示的な代替手段を与える。
したがって、形式冪級数はより中心的な位置を占めるべきである。
これは、現在数学の世界に溢れている多くの無限大を排除する、確実かつ論理的な方法である。
組み合わせと計算の方向性は力に満ちており、私たちはそれをさらに十分に活用し、記号計算マシンの助けを借りて新しい分野を切り開くべきです。
357: １３２人目の素数さん [] 2025/05/15(木) 10:34:14.57 ID:fYTg9nfl(1/2) AAS
>>355
無限回のプロセスを許容するのであれば、「代数的」という表現は適切でないし、
また、いわゆる数値解析の方法とも、明確に違うとは言えない
そういう意味では、論文の紹介記事は「盛っている」といわざるを得ない
368(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/15(木) 16:27:31.14 ID:Q2qYx//8(4/5) AAS
>>355
ありがとうございます。スレ主です
この話は、もう一つのガロアスレ 「純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20」
2chｽﾚ:math
以降で 昨日扱ったのだが
この記事のポイントは いま改めて読むと
１）”Geode”「ジオード」（表題 ”A Hyper-Catalan Series Solution to Polynomial Equations, and the Geode”の最後の単語 ）で
”Geode”「ジオード」とは、不思議な宝石で 『内部にはキラキラと輝く結晶が広がる』とある（下記）
２）つまり 力点は 第11節および第12節 で、”hyper-Catalan numbers form”が ”Geode”の 新鉱脈だということ
３）なお 2 歴史 の ”In 2021, the first author began his exploration of polynomial solutions in much the same way [Citation9], greatly aided by advances in symbolic computation [Citation10–12].”
の記述が目を引いた
要するに力点は、新しい”Hyper-Catalan Series”にあって、この新しい武器を使って試し切りしたら
”Solution to Polynomial Equations”が得られた。こいつは ”Geode”「ジオード」（宝石の鉱脈なんだ！）ってことですね （＾＾
なお、”greatly aided by advances in symbolic computation [Citation10–12].”にも ご注目ください
21世紀の数学ですねぇー （＾＾
(参考)
https://www.kenkengems.com/apps/note/geode/
天然石（パワーストーン・水晶・クリスタルなど）の情報発信サイトkenkengems column
ジオードとは？ でき方・楽しみ方・浄化方法まで徹底解説
天然石コラム 2025年3月4日
ジオード（Geode）をご存じですか？
外から見ると普通の石のようですが、割ってみると内部にはキラキラと輝く結晶が広がる、不思議な魅力を持つ天然石です。まるで宝箱のような見た目から、昔から多くの人々を惹きつけてきました。
https://www.kenkengems.com/apps/note/wp-content/uploads/2025/02/dreamstime_l_195195217-980x654.jpg
目次
この記事の内容
ジオードとは？
ジオードの名前の由来と和名
ジオードの主な使い道
ジオードのでき方
つづく
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