[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
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178(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/12(月) 07:43:46.58 ID:8FwRldJy(3/8) AAS
>>177 補足
ホイヨ
ご参考
https://wiis.info/math/real-number/convergent-sequence/cauchy-sequence-and-convergence/
WIIS
コーシー列と収束列の関係（コーシー列の収束定理）
トップ 数学 実数 数列
実数の連続性を認める場合、数列が有限な実数へ収束することと、その数列がコーシー列であることは必要十分になります。
1.収束する数列はコーシー列
収束列はコーシー列でもありそうです。実際、収束列はコーシー列です。
コーシー列が収束するための条件
数列が収束する場合、その数列はコーシー列であることが明らかになりましたが、逆に、コーシー列は収束するのでしょうか。順番に考えます。
コーシー列の収束定理
コーシー列{xn}
が与えられているものとします。コーシー列は有界であるため{xn}
は有界です。有界な数列は収束する部分列を持つ（ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理）ため、
{xn}は収束する部分列 {xl(n)}
を持ちます。つまり、{xn}
はコーシー列であるとともに収束する部分列を持つため、先の命題より、
{xn}は有限な実数へ収束します。
命題（コーシー列の収束定理）
数列{xn}
がコーシー列ならば、
{xn}は収束する。
実数の連続性の公理から導かれるボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理を認める場合には、コーシー列が収束することを保証できるというわけです。
https://wiis.info/math/real-number/convergent-sequence/bolzano-weierstrauss-theorem/
WIIS
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
トップ 数学 実数 数列
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AB%E3%83%84%E3%82%A1%E3%83%BC%E3%83%8E%EF%BC%9D%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
有限次元ユークリッド空間 ℝn における収束に関する基本的な結果である。定理は「ℝn 内の任意の有界数列が収束する部分列を持つこと」を主張する[1]。これと同値な定式化として、「ℝn の部分集合が点列コンパクトであるための必要十分条件は、それが有界閉集合となることである[2]」という形で述べることができる。この定理をしばしば (ℝn の) 点列コンパクト性定理とも言う[3]。
歴史と意義
ボルツァノ–ヴァイヤシュトラスの定理は、ボルツァノとヴァイヤシュトラスという二人の名前が冠されているが、実際には1817年にボルツァノが中間値の定理の証明において補題として証明したのが初出である。50年ほどしてから、この結果自身の重要性が見いだされ、ヴァイヤシュトラスによって再び証明された。それ以降、実解析における本質的な定理と位置付けられた。
182: １３２人目の素数さん [] 2025/05/12(月) 08:28:15.31 ID:f97fsta7(6/16) AAS
>>178
>ご参考
いくらコピペしてもおサルの持論「有理コーシー列の収束先で実数を構成できる」「無理数で実数を構成できる」が正しくなることは無い。
なぜなら有理コーシー列の収束先や無理数こそが構成目的物だから。要するにおサルは「実数で実数を構成する」と言ってる真性バカ。
207(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/12(月) 11:14:22.00 ID:BWkzqcBy(1/6) AAS
>>177-178 補足
ふっふ、ほっほ
１）Terence Tao “big picture”の話として、完備距離空間 完備化の普遍性
「任意の距離空間 M に対して、M を稠密部分空間として含む完備距離空間 M′）を構成することができる」
この視点からは、稠密Qによる距離空間 Rの構成は、単なる一例で
「Qのコーシー列で 距離空間 Rを構成した」と Tao流の“big picture”を語ってもよい
２）一方、昔上司（東北大出身で部長だった）人から 「切り口」という思考スキルを教えてもらった
複雑な対象は、視点や切り口を変えてみろと
実数Rの構成法は、いろいろある。デデキントの切断もある。Qのコーシー列に限らない
この視点では、初期段階としては 必ずしも有理コーシー列は必須ではない
だから、コーシー列の同値類の概念は 必須でなく、本質でもない
３）加えて、歴史的な視点からは、人類は 小数展開を「手の内化」していた(下記 トヨタ語)
小数展開を使えば、基本 無理数は 一意の小数展開を持つことから、無限小数展開を使う
数学的な 実数論も可能ってことですよ
”big picture”の話と
”複雑な対象は、視点や切り口を変えてみろ”という話と
”人類は 小数展開を「手の内化」（下記 トヨタ語）していた”という話
すべて 矛盾せず成り立つ
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
完備距離空間
直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。
例えば2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので ℚ からははみ出してしまう（後述）。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。
例
列（有理コーシー数列）を実数列と考えるならば無理数である √2 を極限に持つ。
完備化
任意の距離空間 M に対して、M を稠密部分空間として含む完備距離空間 M′）を構成することができる。この完備距離空間は、完備化の普遍性
「任意の完備距離空間 N と M から N への一様連続写像が与えられたとき、M′ から N への一様連続写像 f′ で f の延長となるものが一意に存在する」
という普遍性を持つ。
つづく
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