ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

177(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/12(月) 07:32:25.53 ID:8FwRldJy(2/8) AAS
>>174
>ただし注意すべき点として、今示した構成法は実数の完備性を明示的に用いているので、
>有理数の集合 ℚ の完備化については少し異なる扱いが必要になる。
>実数全体の成す集合を、有理数全体の成す集合の通常の絶対値で測った距離に関する完備化として得る、
>カントールによる実数の構成法は、上記の構成法と同様だが、
>実数の構成において実数自身の完備性を用いることは論理的に許されない
>という問題に慎重に取り組まねばならない。
>そうは言っても、上記と同じくコーシー列の同値類を定義して、
>その同値類全体の成す集合が有理数の全体を部分体として含む体を成すこと
>を示すのは容易である。

いや
だから
下記の Terence Tao “big picture”の話と
証明のロジックとして
”実数の構成において実数自身の完備性を用いることは論理的に許されない”
ため証明の手筋として技法を駆使する話とを分けて論じないとね

この二つを混同した議論をする人は、“big picture”が見えるレベルに達していないってこと

(参考)
　>>7より Terence Tao “big picture”（下記）
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
By Terence Tao
There’s more to mathematics than rigour and proofs July 2016 (1)
3.The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.

178(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/12(月) 07:43:46.58 ID:8FwRldJy(3/8) AAS
>>177 補足

ホイヨ
ご参考

https://wiis.info/math/real-number/convergent-sequence/cauchy-sequence-and-convergence/
WIIS
コーシー列と収束列の関係（コーシー列の収束定理）
トップ数学実数数列
実数の連続性を認める場合、数列が有限な実数へ収束することと、その数列がコーシー列であることは必要十分になります。

1.収束する数列はコーシー列

収束列はコーシー列でもありそうです。実際、収束列はコーシー列です。

コーシー列が収束するための条件
数列が収束する場合、その数列はコーシー列であることが明らかになりましたが、逆に、コーシー列は収束するのでしょうか。順番に考えます。

コーシー列の収束定理
コーシー列{xn}
が与えられているものとします。コーシー列は有界であるため{xn}
は有界です。有界な数列は収束する部分列を持つ（ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理）ため、
{xn}は収束する部分列 {xl(n)}
を持ちます。つまり、{xn}
はコーシー列であるとともに収束する部分列を持つため、先の命題より、
{xn}は有限な実数へ収束します。

命題（コーシー列の収束定理）
数列{xn}
がコーシー列ならば、
{xn}は収束する。

実数の連続性の公理から導かれるボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理を認める場合には、コーシー列が収束することを保証できるというわけです。

https://wiis.info/math/real-number/convergent-sequence/bolzano-weierstrauss-theorem/
WIIS
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
トップ数学実数数列

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AB%E3%83%84%E3%82%A1%E3%83%BC%E3%83%8E%EF%BC%9D%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
有限次元ユークリッド空間 ℝn における収束に関する基本的な結果である。定理は「ℝn 内の任意の有界数列が収束する部分列を持つこと」を主張する[1]。これと同値な定式化として、「ℝn の部分集合が点列コンパクトであるための必要十分条件は、それが有界閉集合となることである[2]」という形で述べることができる。この定理をしばしば (ℝn の) 点列コンパクト性定理とも言う[3]。
歴史と意義
ボルツァノ–ヴァイヤシュトラスの定理は、ボルツァノとヴァイヤシュトラスという二人の名前が冠されているが、実際には1817年にボルツァノが中間値の定理の証明において補題として証明したのが初出である。50年ほどしてから、この結果自身の重要性が見いだされ、ヴァイヤシュトラスによって再び証明された。それ以降、実解析における本質的な定理と位置付けられた。

179(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/12(月) 07:48:49.21 ID:8FwRldJy(4/8) AAS
>>134
>全く分かっていないバカは消えな

(引用開始)>>177より
下記の Terence Tao “big picture”の話と
証明のロジックとして
”実数の構成において実数自身の完備性を用いることは論理的に許されない”
ため証明の手筋として技法を駆使する話とを分けて論じないとね
この二つを混同した議論をする人は、“big picture”が見えるレベルに達していないってこと
(引用終り)

ってことですね
”big picture”は、囲碁の大局観
”証明の手筋として技法を駆使する話”は、囲碁のヨミ(読み)の力

両方いるってことですよ

181: １３２人目の素数さん [] 2025/05/12(月) 08:15:58.24 ID:f97fsta7(5/16) AAS
>>177
>いや
>だから
>下記の Terence Tao “big picture”の話と
>証明のロジックとして
>”実数の構成において実数自身の完備性を用いることは論理的に許されない”
>ため証明の手筋として技法を駆使する話とを分けて論じないとね
言い訳してもダメ
収束先だの無理数だのを用いて実数を構成するのは道理の分らぬバカ

188: １３２人目の素数さん [] 2025/05/12(月) 09:14:27.70 ID:bvmVlyYB(1) AAS
>>177
「下記読め男」曰く
> Terence Tao “big picture”の話と
　そこに実数の話なんか書いてないので無意味な

>証明のロジックとして
>”実数の構成において実数自身の完備性を用いることは論理的に許されない”ため
>証明の手筋として技法を駆使する話
　手筋とかいう🐎🦌語以前に論点先取はNG　それ常識
　
　方法として、コーシー列の同値類（差が０に収束するコーシー列の場合同値）というのは同じ
　単に、実数定義後なら馬鹿チョンで実数を使えるところを
　実数そのものを定義する場合では、実数を出さずにやる必要がある
　というだけだが、証明の文章も読めないかっきー君には生涯無縁か

207(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/12(月) 11:14:22.00 ID:BWkzqcBy(1/6) AAS
>>177-178 補足
ふっふ、ほっほ

１）Terence Tao “big picture”の話として、完備距離空間完備化の普遍性
「任意の距離空間 M に対して、M を稠密部分空間として含む完備距離空間 M′）を構成することができる」
　この視点からは、稠密Qによる距離空間 Rの構成は、単なる一例で
　「Qのコーシー列で距離空間 Rを構成した」と Tao流の“big picture”を語ってもよい
２）一方、昔上司（東北大出身で部長だった）人から「切り口」という思考スキルを教えてもらった
　複雑な対象は、視点や切り口を変えてみろと
　実数Rの構成法は、いろいろある。デデキントの切断もある。Qのコーシー列に限らない
　この視点では、初期段階としては必ずしも有理コーシー列は必須ではない
　だから、コーシー列の同値類の概念は必須でなく、本質でもない
３）加えて、歴史的な視点からは、人類は小数展開を「手の内化」していた(下記トヨタ語)
　小数展開を使えば、基本無理数は一意の小数展開を持つことから、無限小数展開を使う
　数学的な実数論も可能ってことですよ

”big picture”の話と
”複雑な対象は、視点や切り口を変えてみろ”という話と
”人類は小数展開を「手の内化」（下記トヨタ語）していた”という話
すべて矛盾せず成り立つ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
完備距離空間
直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。
例えば2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので ℚ からははみ出してしまう（後述）。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。
例
列（有理コーシー数列）を実数列と考えるならば無理数である √2 を極限に持つ。
完備化
任意の距離空間 M に対して、M を稠密部分空間として含む完備距離空間 M′）を構成することができる。この完備距離空間は、完備化の普遍性
「任意の完備距離空間 N と M から N への一様連続写像が与えられたとき、M′ から N への一様連続写像 f′ で f の延長となるものが一意に存在する」
という普遍性を持つ。

つづく

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.047s