[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
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136(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/11(日) 23:16:27.94 ID:F7vNf+MQ(4/6) AAS
>>129 補足
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence
Cauchy sequence
In real numbers
A sequence
x1,x2,x3,… of real numbers is called a Cauchy sequence if for every positive real number
ε, there is a positive integer N such that for all natural numbers
m,n>N,
|xm−xn|<ε,
where the vertical bars denote the absolute value.
In a similar way one can define Cauchy sequences of rational or complex numbers.
Cauchy formulated such a condition by requiring
xm−xn to be infinitesimal for every pair of infinite m, n.
For any real number r, the sequence of truncated decimal expansions of r forms a Cauchy sequence.
For example, when r=π, this sequence is (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). The mth and nth terms differ by at most
10^(1−m) when m < n, and as m grows this becomes smaller than any fixed positive number ε.
(引用終り)
上記のような、無限小数展開との関係は、重要だ
有限小数は、有理数でもあるから
有限小数よるコーシー列は、有理コーシー列であるから
有理コーシー列の集合から、有限小数コーシー列の集合へ、全射が存在する
一方、有理コーシー列の同値類(定義は下記の原隆)において
同値類の中に、一つ単調増加列が存在することを認めると
（単調増加列は必須ではないが、説明の便法として使用）
その単調増加列の有理数を小数展開して 有限小数よるコーシー列に落とせる
例えば、ε＝10^k （kを十分大きく取る）とおくと
|xm−xn|<10^k であるから
小数の言葉に直すと
差 |xm−xn| は、小数k位以下の差しかないとなる
つまりは、xmとxnなどは 殆どが 小数k-1位までは一致しているということ
（ xmを小数展開して 小数k位までを求めて、それをもとに 1桁ずつ増える有限小数のコーシー列が構成できる。それを繰り返す）
但し、例外的に繰り上がりの問題が生じる
つまり、例えば 3.14159・・・という数で
xm＝3.14159,xm+1＝3.141599,xm+1＝3.1416001
のように
xm+1-xm＝0.0000101
となるような
つまり 数字9が連なると、繰り上がりで 5→6 に変わることが起きる
但し、無理数を考えると 無限循環 99999・・ は禁止され
必ず 9以外の数が 小数展開中に無限に出現するので
9の繰り上がりは、数学的に処理可能
よって、無理数の小数展開から作られる 一桁ずつ増える単調増加列と
有理コーシー列の同値類とは対応がついて 単射
よって、有理コーシー列の同値類の集合 ←→ 無理数の一桁ずつ増える有限小数コーシー列の集合
は 全単射
（これら 無理数の小数展開は 我々の日常であって、常識でもある）
つづく
138: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/11(日) 23:19:06.59 ID:F7vNf+MQ(6/6) AAS
>>136 タイポ訂正
xm＝3.14159,xm+1＝3.141599,xm+1＝3.1416001
のように
xm+1-xm＝0.0000101
↓
xm＝3.14159,xm+1＝3.141599,xm+2＝3.1416001
のように
xm+2-xm＝0.0000101
139: １３２人目の素数さん [] 2025/05/12(月) 00:05:23.55 ID:f97fsta7(1/16) AAS
>>136
無理数を構成するタスクにおいて無理数の存在を前提にしてはダメ
何度言えば分るのかこのアホは オチコボレに数学は無理なので諦めろ
140: １３２人目の素数さん [] 2025/05/12(月) 00:14:39.35 ID:f97fsta7(2/16) AAS
>>136
存在するなら構成不要って思わない？
思わないなら頭が完全にイカレテるので病院へ
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