ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

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894: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/27(火) 10:16:37.33 ID:1caOziMJ

>>891-893

ふっふ、ほっほ
面白いね　面白いよ、君(>>891)の詭弁は(ワンパターンだが ｗ　；ｐ)

ID:XG7xdh9Lは、御大か
巡回ありがとうございます

さて、下記を追加しておく
アルティン ガロア理論入門の最後が、
作図問題への応用で締めくくられている

”例1．半径1の円に内接する正多角形を作図すること”
”2^2^k+1の形の数”、”素数3,5,17,257,65537”
が、ガロア理論の 単なる一つの系として わずか １ページ半で 終わる
ガウスが DAで 数百ページを費やした ほぼ頂点の定理が、ラグランジュ分解式を使わずにね　；ｐ）

ついでに、角の三等分と デロス島の問題（立方体の倍の量の作図）も 扱っている
アルティンは、ガロア理論の威力を示す好例だと思ったのだろう・・

(参考)
”ガロア理論入門 (1974年) 東京図書(株)　（いまだと ちくま学芸文庫にあるらしい）
アルティン (著), 寺田 文行 (翻訳)”
より

P108
ところが一方，作図とは関係なしに，その幾何学の問題自身から，作図し
たい量ξ1,ξ2,...,ξtの性質をよみとることはできる．そして2つの体Eと
Fの代数的な性貿を調べた結果，もし, (F/K)とか(E/K)が2のベキで
なかったならば，上に述べたことから，コンパスと定規による作図は不可能
となるのである．
定理47．作図問題において，a1,a2,…,arを与えられた量，ξ1,ξ2,...,ξt
を定めたい量とし, K = Q(a1,a2,…,ar)とする，このときξiがす
べてK上代数的で，ξ1,ξ2,...,ξtを含むK の最小の正規拡大体が2
のベキ次の拡大体であることが，この作翻問題がコンパスと定規で解け
るための必要十分な条件である．
証明
この条件が必要であることはすでに述べた。そこで(E/K)を2のベキである
以下略す

P109 （これが最後のページの一つ前）
例1．半径1の円に内接する正多角形を作図すること
Ptとしては2^2^k+1の形の数だけが問題になる．k＝0,1,2,3,4とすると
素数3,5,17,257,65537が得られるk=5のときばこの数は641で割り
きれる．現在のところ2^2^k+1の形の素数はこれ以上はみつかっていない．
とにかく以上から，正多角形がコンパスと定規で作図できるのは，nが
2^2^k+1の形の素数piを用いてn= 2^ν p1p2 ･･･prの形をしているときであ
る．正17角形の実際の作図は，なにがしかの書物でみることができる．

例2．角の三等分
略す

例3．デロス島の問題
アポロの神は，それまでの立方体状の祭壇
を，立方体状のままで倍の量にせよと要求された．
そこにある立方体の一辺
の長さを1としてξ＝2^(1/3)を作図しなければならない．これはK= Q,
F= Q(2^(1/3))の場合である．ところがx^3−2はQで既約であるから
(F/K)=3であり，そのような作図は不可能である．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/894

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