ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

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505: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/21(水) 07:53:04.30 ID:+3NhFfLb

>>502
>>>501 そこはガロア以前のガウスが見つけたことだからさ
>探すの面倒だから、命題1とその例示の10行、ここに書いてくれる？それが一番話早いからさ

うむ
ここを見ている他の人にも参考になるだろうから

『彌永 「ガロアの時代 ガロアの数学」 第二部 数学篇
第3章 ガロアの主著』P237より

命題I
定理 α,b,c,･･・を、m個の根としてもつ方程式が与えられたとしよう．
そのときいつも次の性質1,2をもつα,b,c,･･・の置換から成る群がある．
1. 根の関数でこの群の置換によって変わらないものは，必ず有理的に知られる．
2. 逆に有理的に決定される根の関数は，この群の置換によって変わらない．

（代数方程式の場合は，この群は1・2・・・・m(= m!)個のm個
の文字のすべての置換から成る群にほかならない．その場合，根
の有理的に知られる関数は対称関数だけであるからである.）

（方程式(x^m-1)/(x-1)＝0の場合は、gを(mod nの)原始根(γを1の
原始n乗根)としα=r,b=r^g,C =r^g^2,・・・とすれば，その群は
単に
a,b,c,d,･･･,k
b,c,d,･･･,k,a
c,d,･･･,k,a,b
　・・・
k,a,b,・・・,i
となる．この特別な場合には，順列の数は方程式の次数に等しい．
これと同じことは，すべての根が1つの根の有理関数として表さ
れる場合に対して成り立つであろう.）

証明 与えられた方程式がどんな方程式であっても，（上に示した
ように)根の(有理)関数Vであって，すべての根がVの有理関数
として表されるようなものを見出すことができる．そこでVを根
以下略す
(引用終り)

上記で、方程式(x^m-1)/(x-1)＝0 以下 成り立つであろう までの約10行がそれだよ
そして、命題は8番まである。命題Iは、当然ながら 冒頭部分にすぎない
繰り返すが 一度、ガロア第一論文を読んでみて(>>501)

”自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで
　可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね
　まあ、たぶん教科書にもどっかに書いてあるんだろうけど"
が、滑っているのが分るよ
（なお 上記”方程式(x^m-1)/(x-1)＝0”が、1のべき根を求める式であることは 自明だが、中高一貫生のために 注意しておく）

追伸
　>>504 ID:4hfas3rf は、御大か
巡回ありがとうございます

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/505

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