ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞あぼーん

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

394(1): １３２人目の素数さん [] 2025/05/17(土) 08:06:44.46 ID:y2zepp9J(1/13) AAS
>>393

>一方Ｒ上の良い性質の関数は、可算個の点の値で関数を特定できると想定され
>その場合、R^N（Nは自然数全体の集合）の部分集合で表せる
　↓
そこを、もう一歩進めたのが
開集合（位相空間論）の思想だな

つまり、開集合を使うと
非可算個の点→”可算”開集合の族
として扱える

数学科1年で詰んだオチコボレさん(>>10)に気づけるかどうか・・・

”非可算個の点→可算開集合の族”を、更に発展させたものが
岡の不定域イデアル＆カルタンの層の思想

数学科1年で詰んだオチコボレさん(>>10)に気づけるかどうか・・・
絶対無理！！ｗ；ｐ）

403(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/17(土) 09:44:02.60 ID:y2zepp9J(2/13) AAS
>>399
>「実数から実数への連続関数は
>　すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」

ふっふ、ほっほ
座興で、1問のみ答える
（図に乗って次々に質問攻めされそうなので先回りｗ）

いま、超能力を使って某多変数関数論の名誉教授をエスパーした結果
答えはNoだと

追伸
因みに、Copilot さんに喰わせると
Q 実数の連続関数は、すべての有理数の点の上での値だけで特定できるか？

(注：念のためにいうが下記は疑ってかかるように　；ｐ)
A いい質問ですね！結論から言うと、一般には特定できません。有理数上の値だけでは、実数全体での連続関数を一意に決めることができない場合があります。
理由は、有理数の集合は実数の中で「稠密」ですが、「稠密」であるだけでは十分ではないからです。例えば、次のような異なる2つの連続関数 ( f(x) ) と ( g(x) ) を考えます。
- ( f(x) ) と ( g(x) ) はすべての有理数 ( x ) 上で同じ値を持つ。
- しかし、ある無理数 ( x_0 ) では ( f(x_0) ＼neq g(x_0) ) となる。
このような関数の例があるため、連続関数を一意に決めるには、有理数だけでなく実数全体の情報が必要になるのです。
ただし、もし関数が一様連続であれば、有理数上の値から実数全体に拡張することが可能です（これは「稠密集合上での一様連続関数は一意に拡張できる」という性質によります）。
つまり：
- 一般の連続関数の場合 → 有理数の情報だけでは決定できない。
- 一様連続関数の場合 → 有理数上の値だけで決定できる。
興味があれば、ワイエルシュトラスの近似定理や一様連続性と完備性について調べると、より深く理解できると思います！こういう数学の議論って面白いですね。

414(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/17(土) 10:31:30.33 ID:y2zepp9J(3/13) AAS
>>403 追加
google検索：定理稠密集合上での一様連続関数は一意に拡張できる

一様連続関数を完備化した空間に拡張する
はてなブログ Branched Evolution
https://evolite.はてなブログ.com › entry
2020/08/16 — 距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる．

なお、藤岡敦関西大学システム理工学部数学科
下記2011年一橋大学時代か。これ一橋大の講義か？もしそうなら一橋大おそるべし（＾＾；
https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/
藤岡敦関西大学システム理工学部数学科
https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/hit/hit.html
２０１１年度一橋大学時代のもの
https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/hit/ms/ms.html
２０１１年度冬学期「数理構造II」一橋大学時代のもの
　§１．Euclid 空間　１０月７日分資料（１０月７日修正版）
　§２．距離空間と位相空間　１０月１４日分資料（１０月７日版）
　§３．連続写像　１０月２１日分資料（１０月１４日版）
　§４．実連続関数　１０月２８日分資料（１０月２１日版）
　§５．完備性　１１月１１日分資料（１０月２８日版）
　§６．Dini の定理　１１月２５日分資料（１１月２５日修正版）
　§７．Ascoli-Arzela の定理　１２月２日分資料（１１月２５日版）
　§８．代数的構造　１２月９日分資料（１２月５日版）
　§９．Stone-Weierstrass の定理　１２月１６日分資料（１２月９日版）
　§１０．Urysohn の補題　１月６日分資料（１２月１６日版）
　§１１．Tietze の拡張定理　１月２０日分資料（１月６日版）
　§１２．コンパクト開位相　１月２７日分資料（１月２５日修正版）
https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/hit/ms/111111ms.pdf
２０１１年１１月１１日数理構造II（藤岡敦担当）授業資料1
§5. 完備性
実連続関数全体の集合は完備な距離空間と同様の性質をもつ.まず, 距離空間の完備性について述べよう.

さて, 実連続関数全体の集合について考えよう.定義 (X,O)を位相空間とし,C(X)の一様収束位相を考える.
{fn}をC(X)の点列とする. 任意のε>0に対しあるN ∈Nが存在し,n≥Nならばfn∈B(fN;ε)となるとき,{fn}n∈Nを一様Cauchy列とよぶ.
距離空間の場合と同様に,C(X)の一様収束する点列は一様Cauchy列であることが分かる.
また, Xがコンパクトなときは一様Cauchy列は距離空間(C(X),d)のCauchy列に他ならない.
次に示すようにC(X)は完備な距離空間と同様の性質をもつ.
定理 C(X)の一様Cauchy列は一様収束する.
証明
略す

415: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/17(土) 10:46:34.37 ID:y2zepp9J(4/13) AAS
>>414
>下記2011年一橋大学時代か。これ一橋大の講義か？もしそうなら一橋大おそるべし（＾＾；

これ下記の如く
大学院の講義らしい
にしてもやっぱり一橋大おそるべし

https://www1.econ.hit-u.ac.jp/hokoku/information_disclosure/2009/pdf/MA_fujioka.pdf
藤岡敦ふじおかあつし
1. 学歴
1990 年 3月東京大学理学部数学科卒業
1990 年 4月東京大学大学院理学研究科修士課程数学専攻入学
1996 年 3月東京大学大学院数理科学研究科博士課程数理科学専攻修了（博士（数理科学）取得）

3. 学内教育活動
（a）学部学生向け線型代数?B，微分積分?，微分積分?B，微分積分?，集合と位相?，微分積分続論，解析学，幾何学，現象数理，基礎数理
（b）大学院基礎数理，数理構造?，数理解析?

419(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/17(土) 11:03:32.59 ID:y2zepp9J(5/13) AAS
>>399
で、数学科1年で詰んだら
”開集合（位相空間論）”には、突っ込めないのか？

で、数学科1年で詰んだら
”岡の不定域イデアル＆カルタンの層の思想”には、突っ込めないのかな？？

それまる見え
まる分かりｗ；ｐ）

420: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/17(土) 11:07:51.22 ID:y2zepp9J(6/13) AAS
>>419
死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツさん、いつもありがとうございます。
スレ主です
今後ともどうかよろしくお願いいたします。（＾＾

425(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/17(土) 15:35:34.73 ID:y2zepp9J(7/13) AAS
これ面白い
貼っておきます

https://www.researchgate.net/publication/233525067_Modifications_of_Thomae's_Function_and_Differentiability
Modifications of Thomae's Function and Differentiability
June 2009
The American Mathematical Monthly
116(6):531-535
Kevin Beanland
James W. Roberts
Craig Stevenson

Download full^text

Abstract
In 1875, K. J. Thomae discovered the now-famous example of a real-valued function that is continuous on the irrationals and not continuous on the rationals. This function is presented in many undergraduate real analysis courses and is known, to some, as the 'popcorn' function. It is not difficult to see that Thomae's function is not differentiable anywhere. The question we examine here is whether it can be modified to be differentiable on some subset of the irrationals. The answer may surprise you—it certainly surprised us.

427(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/17(土) 16:12:10.68 ID:y2zepp9J(8/13) AAS
>>423
(引用開始)
Copilotに尋ねたら、全然違うこといったぞｗ
（引用始）
Q.距離空間上の連続関数は稠密な部分集合上での値によって一意に決まるというけど、その証明は？
A.この主張は、連続関数の稠密集合上での値がその関数全体を決定することを述べています。
つまり、ある距離空間 𝑋 上の連続関数 𝑓:𝑋→𝑅 が、稠密な部分集合 𝐷⊂𝑋 上で一致しているならば、全体でも一致するということです。
証明の概要：
略す
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
おお！君の Copilotは優秀だな！；ｐ）

たしかに、>>414より
google検索：定理稠密集合上での一様連続関数は一意に拡張できる
一様連続関数を完備化した空間に拡張する
はてなブログ Branched Evolution
https://evolite.はてなブログ.com › entry
2020/08/16 — 距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる．

これの証明を読んでみると
中段に
”R の完備性より，
{f(xn)} は収束し，その収束先は点列
{xn} のとり方によらないから，
f^ を f^(x)=lim n→∞ f(xn) で定義できる．
また，距離空間上の連続関数は稠密な部分集合上での値によって一意に決まるから，この拡張は一意的である．”
とあるね

なので、君の Copilotくんが正しそうだね（”一様連続”の条件を外せるかはちょっと保留）

　>>403の "某多変数関数論の名誉教授をエスパー" は、ちょっとエスパー能力が足りなかったかな？ｗ；ｐ）

まあ、君にとっても良かったじゃないの？
君の Copilotくんが優秀で、教えて貰らえてねｗｗ；ｐ）

432(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/17(土) 20:00:54.76 ID:y2zepp9J(9/13) AAS
>>427 補足
>（”一様連続”の条件を外せるかはちょっと保留）

”一様連続”を仮定するのが、良さそうだね
下記の通り
一様連続
→Uniform continuity（英文情報（圧倒的に良質情報が多い））
→Cauchy continuity（For a function between metric spaces, uniform continuity implies Cauchy continuity (Fitzpatrick 2006). ）
→Cauchy-continuous function Examples and non-examples
と辿れる
ここで Q上 Cauchy-continuou関数だが Uniform continuouでない関数が、 non-example として構成されている（下記）
こいつは Rへ連続関数として延長不可だ！ｗ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E6%A7%98%E9%80%A3%E7%B6%9A
一様連続

https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_continuity
Uniform continuity

Other characterizations
Cauchy continuity
For a function between metric spaces, uniform continuity implies Cauchy continuity (Fitzpatrick 2006).
（注：逆は不成立（下記））

Relations with the extension problem
A sufficient condition for
f to extend to a continuous function
f:X→R is that it is Cauchy-continuous, i.e., the image under
f of a Cauchy sequence remains Cauchy. If
X is complete (and thus the completion of S), then every continuous function from
X to a metric space Y is Cauchy-continuous. Therefore when
X is complete, f extends to a continuous function
f:X→R if and only if f is Cauchy-continuous.
It is easy to see that every uniformly continuous function is Cauchy-continuous and thus extends to X.

https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-continuous_function
Cauchy-continuous function

Examples and non-examples
Since the real line
R is complete, continuous functions on R are Cauchy-continuous. On the subspace
Q of rational numbers, however, matters are different. For example, define a two-valued function so that
f(x) is
0 when x^2 is less than
2 but 1 when x^2 is greater than 2.
(Note that x^2 is never equal to 2 for any rational number x.)
This function is continuous on Q but not Cauchy-continuous, since it cannot be extended continuously to R.
{\displaystyle \mathbb {R} .} On the other hand, any uniformly continuous function on Q must be Cauchy-continuous.
For a non-uniform example on Q, let f(x) be 2^x;
this is not uniformly continuous (on all of Q),
but it is Cauchy-continuous. (This example works equally well on R.)
A Cauchy sequence (y1,y2,…) in Y can be identified with a Cauchy-continuous function from
{1,1/2,1/3,…} to Y, defined by f(1/n)=yn.
If Y is complete, then this can be extended to {1,1/2,1/3,…}; f(x) will be the limit of the Cauchy sequence.

433: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/17(土) 20:10:17.52 ID:y2zepp9J(10/13) AAS
>>432

　>>403の "某多変数関数論の名誉教授をエスパー" は、ちょっとエスパー能力が足りなかったかのでなく
エスパー読み手の ”数学能力”の問題か（＾＾

→Uniform continuity
→Cauchy continuity

ここらでイマイチ私の数学能力がついて行けてなかったんだね！ｗ；ｐ）

オチコボレのおサルさん>>10
勉強になって良かったね！！！ｗｗ；ｐ）

442(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/17(土) 23:28:55.87 ID:y2zepp9J(11/13) AAS
>>436
>「RからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)はQでの値だけで一意的に定まるか？」
>「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」
>前者と後者は雰囲気は似ていても、異なる命題だね。

なるほど
後者をも考えていた

>>435
>𝑓(𝑥) と 𝑔(𝑥) は連続関数なので、有理数点 𝑞𝑛 で 𝑓(𝑞𝑛)=𝑔(𝑞𝑛) ならば、
>極限を取ることで
>lim 𝑛→∞ 𝑓(𝑞𝑛)=lim⁡ 𝑛→∞ 𝑔(𝑞𝑛).
>しかし、連続性より、右辺はそれぞれ

うむ
そこは、下記 stackexchange に落ちていたが
𝑓(𝑥) - 𝑔(𝑥)と差を作るのが常用の手スジでエレガントだね（Copilotもたまには正しいみたい；ｐ）
なので、「RからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)はQでの値だけで一意的に定まるか？」では一様収束は不要
「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」では一様収束は必要
ってことね

(参考)
https://math.stackexchange.com/questions/379899/why-is-every-continuous-function-on-the-reals-determined-by-its-value-on-rationa
Why is every continuous function on the reals determined by its value on rationals? [closed]
Asked 12 years ago
asked May 3, 2013
Timothy Chang

answered May 3, 2013
Gyu Eun Lee

Suppose I have two continuous functions f,g:R→R
that agree at every rational number. You want to conclude that f(x)=g(x)
for every real number x.
Alternatively, you can show that f(x)−g(x)=0
for every real number x.
f−g is a continuous function on R, and (f−g)(q)=0
for every rational number q.
Let x be an arbitrary real number. Since the rationals are dense in the reals, we choose a sequence of rational numbers converging to x.
On this sequence f−g is identically zero, and passing to the limit by continuity, we conclude that (f−g)(x)=0.
Since x was arbitrary f−g is identically zero on R.
So a continuous function on R is uniquely determined by its values on Q.

443(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/17(土) 23:31:18.37 ID:y2zepp9J(12/13) AAS
>>442 タイポ訂正

なので、「RからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)はQでの値だけで一意的に定まるか？」では一様収束は不要
「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」では一様収束は必要
　↓
なので、「RからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)はQでの値だけで一意的に定まるか？」では一様連続は不要
「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」では一様連続は必要

444: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/17(土) 23:44:37.10 ID:y2zepp9J(13/13) AAS
>>442 追加
>「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」では一様収束は必要

”Tietze extension theorem”貼っておきますね

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Tietze_extension_theorem
Tietze extension theorem

In topology, the Tietze extension theorem (also known as the Tietze–Urysohn–Brouwer extension theorem or Urysohn-Brouwer lemma[1]) states that any real-valued, continuous function on a closed subset of a normal topological space can be extended to the entire space, preserving boundedness if necessary.

Formal statement

Proof
略す
History
L. E. J. Brouwer and Henri Lebesgue proved a special case of the theorem, when
X is a finite-dimensional real vector space. Heinrich Tietze extended it to all metric spaces, and Pavel Urysohn proved the theorem as stated here, for normal topological spaces.[2][3]

Equivalent statements
This theorem is equivalent to Urysohn's lemma (which is also equivalent to the normality of the space) and is widely applicable, since all metric spaces and all compact Hausdorff spaces are normal. It can be generalized by replacing
R with R^J for some indexing set J, any retract of R^J, or any normal absolute retract whatsoever.

https://en.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Tietze
Heinrich Tietze
Heinrich Franz Friedrich Tietze (August 31, 1880 – February 17, 1964) was an Austrian mathematician, famous for the Tietze extension theorem on functions from topological spaces to the real numbers. He also developed the Tietze transformations for group presentations, and was the first to pose the group isomorphism problem. Tietze's graph is also named after him; it describes the boundaries of a subdivision of the Möbius strip into six mutually-adjacent regions, found by Tietze as part of an extension of the four color theorem to non-orientable surfaces.

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.050s