ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

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877(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/27(火) 00:00:20.47 ID:mVXlvt9d(1/6) AAS
>>872 追加

あのさ国会図書館デジタルコレクションで下記の
”ガロア理論入門 (1974年) 東京図書(株)　（いまだとちくま学芸文庫にあるらしい（下記））
アルティン (著), 寺田文行 (翻訳)”
読めないか？

早稲田大寺田文行先生が、大学数学科のテキストで使ってきたものを訳したという
で、いま手元の本を見ると、ラグランジュ分解式が出てこないのだが・・ｗｗ；ｐ）
確認できるかな？
索引にも目次にもないし、いま本文もざっと見たが、ラグランジュ分解式が出てこないよ
だから、ラグランジュ分解式なしで、アルティンはガロア理論を語っているようだ

なお
P105 より
(引用開始)
いまαi,αjをf(x)の相異なる2根とし，中間体K(αi,αj)を考察しよ
う．この中間体に対応する部分群の要素τはαi,αjを動かさないので，2
つの不動点をもつことになる．よって上に示したことによって，τ＝1でな
ければならない．これは中間体K(αi,αj)が全体Eに一致することを意味
している．すなわち次が証明された．
定理46．素数次の既約方程式の群G が可解のとき，その分解体は
その方程式の相異なる任意の2根を付加するだけで得られる。
(引用終り)

となっているね

(参考)
（アマゾン）
ガロア理論入門 (ちくま学芸文庫 ) 2010/4/7
エミール・アルティン (著), 寺田文行 (翻訳)

レビュー
ksan
5つ星のうち5.0 さすがはロングセラーの名著だ。
2023年12月13日
原著は早稲田大学の数学科の講義の教科書として使われていて、それを訳したといういきさつが後書きに書かれている。
日本の大学で学ぶ代数学の目標の１つにガロア理論（米国では大学院で学ぶらしい）が挙げられる。

888(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/27(火) 08:15:09.78 ID:mVXlvt9d(2/6) AAS
>>877
(引用開始)
あのさ、君、群指標って知ってる？
知らない、とはいわせないよ。
アルティンの本に定義が出てるんだから（笑）
で、可解性を示すのに必要なクンマー体のとこで
指標バンバンつかってんだけど理解してる？
例えば
「Gが階数ｒの可換群のとき、指標のとる値は１のｒ乗根」
とか書いてあるけど、その意味わかってる？
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
面白いね
面白いよ、君の詭弁はｗ；ｐ）

アルティンガロア理論入門 (1974年) を持っているんだ
多分ちくまでないやつをｗ

学生時代に買った？
”群指標”の該当箇所を引用すると下記だ

”群指標”って、普通のガロア本だと拡大体と基礎体との関係についての群を導入するときに
ベクトル空間の理論を使っているだけでしょ？（＾＾
なお、下記の［概要］の部分は、寺田文行先生が読者のために付記してくれている部分だよ

上記『クンマー体のとこで・・１のｒ乗根とか書いてあるけど』
ってさ笑えるｗ

クンマー体の定義知ってる？ｗ
下記検索で学習院大学数学科のPDFがあるよ　百回音読してねｗｗ
１のｒ乗根は、クンマー体の定義に使われているよ（当然だが）

アルティンガロア理論入門 (1974年) を持っているなら話は早い
ラグランジュ分解式の記述を探してくれたまえ！！　ｗ；ｐ）

(参考)
”ガロア理論入門 (1974年) 東京図書(株)　（いまだとちくま学芸文庫にあるらしい）
アルティン (著), 寺田文行 (翻訳)”
より
P37
6．群指標
［概要］ベクトル空間の理論を用いて定理13を導き，これを以下の理論の埜礎に
するのがアルテインのガロア理論の特色である．定理13とは：
“体Eから体E'の中への相異なるn個の同型写像σ1，σ2,…,σnがあり,E
の部分体Kの要素aに対してはつねにσ1(a) = σ2(a)＝…= σn(a)である
とき，不等式(E/K)≧nがなりたつ”
ということである．この節ではこの定理13を証明し，次にとくに体Eの部分
体をKとするとき,Kのすべての要素を不変にするEの自己同型写像の全体
が群になることを示す．

Gを乗法群,Kを体とする.GからKの中への写像σが,Gの任意
の要素α,βに対して，
σ(αβ）＝σ(α)σ(β）
を満たすとする．ここで
以下略

P39
定理13．体Eから体E'の中への異なる同型写像σ1，σ2,…,σnの不
変体をKとすると(E/K)≧nである。
証明　(E/K)＜nとすると矛盾が導かれることを示そう．ベクトル空間としてのEのKの1組の生成系を
以下略

（google検索：クンマー体より）
§13. クンマー拡大
学習院大学数学科
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp›html-files›Alg2
PDF
クンマー拡大. 以下において扱う体はすべて C の部分体とする．また，自然数 n に対して， ζn ∈ C を 1 の原始 n 乗根とする．すなわち，ζn ∈ C. × であって，その位 ...
4 ページ

931(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/27(火) 20:39:56.66 ID:mVXlvt9d(3/6) AAS
>>875
>（１のべき根を追加した基礎体で）
>べき根による拡大と巡回拡大が対応するという
>定理の証明にラグランジュ分解式使うんだが
>おまえ証明全然読んでないの？

下記の Brent Everitt Galois Theory
に図解があるよ（因みに Brent Everitt Galois Theory は、綺麗な図が多いので気に入っているんだ　；ｐ）

つまり、巡回拡大を示すにはラグランジュ分解式は、使わなくても可だよ（もちろん、使っても良い）ｗ
残念でしたぁ〜〜！！ｗｗｗ；ｐ）

(参考)
https://arxiv.org/abs/1804.04657
Mathematics > Group Theory
[Submitted on 12 Apr 2018]
Galois Theory - a first course
Brent Everitt
These notes are a self-contained introduction to Galois theory, designed for the student who has done a first course in abstract algebra.
https://arxiv.org/pdf/1804.04657

P3
（余談だが、この図が綺麗だ）
Fig.-1.1.TheCayleygraphfor thesmallestnon-Abeliansimplegroup, thealternatinggroupA5,withrespect to σ=(1,2,3,4,5)–theblueedges–andτ=(1,2)(3,4)–theblackedges.

P7
Fig.0.2.The solutions in C to the equation x5−2=0.
(この図のすぐ下にこの方程式の図があるよ、説明つきでね。なお P77でも再度同じ図の説明が出てくる)

932(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/27(火) 20:52:58.61 ID:mVXlvt9d(4/6) AAS
>>930
>12.　ネーター等式　のところで
>Σ(τ）　ｘ_ττ（ｚ）　（和はＧの要素τの全体にわたる）
>というものが出てくる
>つまり・・・これが（Ｇが巡回群のとき）ラグランジュの分解式

笑える
必死のこじつけ
我田引水
ご苦労さまですｗ；ｐ）

でなアルティンガロア理論
次の節”13.　クンマー体”で

ラグランジュの分解式が使われているところを探して
お得意の

必死こじつけ我田引水
やってみて

もっと笑わせてくれ！！ｗｗｗ；ｐ）

937: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/27(火) 23:15:37.43 ID:mVXlvt9d(5/6) AAS
次スレ立てた（＾＾
ここを使い切ったら、次スレへ
2chｽﾚ:math
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

938(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/27(火) 23:57:08.54 ID:mVXlvt9d(6/6) AAS
>>933
>（引用始）
>Theorem H (Galois).
>A polynomial f ∈ Q[x] is solvable by radicals if and only if its Galois group over Q is soluble.
>The proof, which we omit,…
>（引用終）

おお、君はだいぶ数学イップスから回復して
数学文献の ”大人読み”＝まずはどこが重要かを考えながら読むべし！
が出来るようになったね

えーと、もう少し引用すると P92より
(15.3). Recalling the definition of soluble group given in Section 10:
Theorem H (Galois). A polynomial f ∈ Q[x] is solvable by radicals if and only if its Galois group over Q is soluble.
The proof, which we omit, uses the full power of the Galois correspondence, with the sequence of extensions in a radical extension corresponding to the sequence of subgroups
{1} = H0 ⊳H1 ⊳···⊳Hn−1 ⊳Hn =G,
in a soluble group.
(15.4). As a small reality check of Theorem H, we saw in Section 11 that the Galois group over Qof a quadratic polynomial is either the trivial group {id} or the (Abelian) permutation group {id, (α, β)} where α,β ∈ C are the roots. Abelian groups are soluble– see (10.8)– and this syncs with quadratics being solvable by radicals via the quadratic formula.
Similarly, the possible Galois groups of cubic polynomials are shown in Figure 11.3. Apart from S3, these are also Abelian. But S3 is the symmetry group of an equilateral triangle lying in the plane– soluble by (10.9).
(15.5). Somewhat out of chronological order, we have:
Theorem 15.1 (Abels-Fubini). The polynomial f = x5 − 4x + 2 is not solvable by radicals. The roots of x5−4x+2 are algebraic numbers, yet there is no algebraic expression for them.
Proof. We show that the Galois group of f over Q is insoluble. Indeed, we show that the Galois
略
(引用終り)

フルの証明は略しているが、証明の概要は語っているよね
それから、この(15.3)節のTheorem H (Galois)に来るまでに、”solvable by radicals”についての説明はあったぞ
特に、3次と5次については、図解までして詳しくね
だから、君の論難は当たらないと思うよ；ｐ）

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