[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
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563(2): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/22(木) 18:50:21.31 ID:m5hl0N4b(1/16) AAS
γ:＝lim_{n→+∞}(1＋1/2＋…＋1/n−log(n)) を有理数と仮定する
γに対した或る互いに素な正の整数 p、q が存在して、γ＝q/p である
よって、γ−q/p＝0 である
しかし、有理数γは 57/100＜γ＝q/p＜58/100 を満たすから、γ−q/p を下から評価すれば、
γ−q/p＞γ−58/100
＝lim_{n→+∞}(1＋1/2＋…＋1/n−log(n))−58/100
＝(1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7−log(7)−58/100)＋lim_{n→+∞}(log(7)＋(1/8＋…＋1/n)−log(n))
＝(2＋(1/4＋1/5＋1/7−58/100)−log(7))＋lim_{n→+∞}(log(7)＋(1/8＋…＋1/n)−log(n))
＝(2＋(315/700＋100/700−406/700)−log(7))＋lim_{n→+∞}(log(7)＋(1/8＋…＋1/n)−log(n))
＝(2＋9/700−log(7))＋lim_{n→+∞}(log(7)＋(1/8＋…＋1/n)−log(n))
＞0
だから、0＞γ−58/100＞0 である。よって、γ＝58/100 かつ 0≠0 である
これは、57/100＜γ＜58/100 かつ 0＝0 なることに反し、矛盾する
故に、背理法により、γは無理数である
564: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/22(木) 18:56:17.75 ID:m5hl0N4b(2/16) AAS
まさか、>>563のような証明の方法でγの無理性が示せる訳ないよね
こんな夢を見た。γは無理数だった
そんな話でした
566(2): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/22(木) 19:11:10.94 ID:m5hl0N4b(3/16) AAS
>>565
そこを丁寧に書くと長くなると以前もいったが
573(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/22(木) 19:32:25.10 ID:m5hl0N4b(4/16) AAS
>>565
「そこ」って γ−58/100 の一連の評価のこと
丁寧に書くと、幾つかの段階を踏んで不等式を使っていて長くなる
577(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/22(木) 19:43:21.27 ID:m5hl0N4b(5/16) AAS
>>575
それじゃ、やはりγは有理数だったということだな
γを無理数とすれば、γは一意に無限正則連分数で表されて、
それに対する議論が出来て矛盾が導ける
579(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/22(木) 19:46:47.15 ID:m5hl0N4b(6/16) AAS
γの有理性の議論の大雑把な証明は、かなり前にも書いた
583(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/22(木) 19:48:14.20 ID:m5hl0N4b(7/16) AAS
>>578
そんなこと一々指摘されなくても分かってる
587(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/22(木) 19:51:37.80 ID:m5hl0N4b(8/16) AAS
>>582
γの奇数次の近似分数 q/p は |γ−q/p|＜1/p^2 を満たす
589: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/22(木) 19:53:52.94 ID:m5hl0N4b(9/16) AAS
>>585
私は受験生ではないわ
593(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/22(木) 19:56:58.97 ID:m5hl0N4b(10/16) AAS
内容は、実質的にはγを無理数としたとき一意に表されるγの正則な無限連分数の議論
595(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/22(木) 19:59:16.32 ID:m5hl0N4b(11/16) AAS
>>592
|γ−q/p|＝q/p−γ＞0 ですが
599(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/22(木) 20:01:57.18 ID:m5hl0N4b(12/16) AAS
>>597
時間だし、寝る
603(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/22(木) 20:05:31.43 ID:m5hl0N4b(13/16) AAS
>>598
君は連分数の理論を知らずに指摘していた訳な
γの奇数次の近似分数 q/p はγより大きい
606(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/22(木) 20:13:32.66 ID:m5hl0N4b(14/16) AAS
>>604
それは、任意の正の整数kに対して(2k−1)次の近似分数 といい換えれば済む話
608(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/22(木) 20:22:57.36 ID:m5hl0N4b(15/16) AAS
>>605
連分数の理論は高校数学ではやらない(筈)
>>607
君が知らないだけだろう
近似分数ではなく、和訳すると収束子(？)と英語で書いてある連分数の本もある
612(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/22(木) 20:27:33.63 ID:m5hl0N4b(16/16) AAS
>>609
その英語の連分数の本は、ページ数は少ない
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