[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
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268(4): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 09:50:41.68 ID:ckJ79ZRm(1/25) AAS
やはり、腑に落ちないことがあるので聞きたい
一般に一意に正則無限連分数展開された実数を無理数という
(実際に杉浦 解析入門?では無理数をそのように定義している)
と定義したとき、この定義に基づいてオイラーの定数γを無理数と仮定したら、矛盾が導ける
だから、背理法によりγは有理数であるといえる
この論理のどこに落とし穴があるんだ？
270(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 11:35:48.48 ID:ckJ79ZRm(2/25) AAS
>>269
γの具体的な値は知らないが、
>>268の無理数の定義に基づいた議論に
論理的な落とし穴がなければ、
γは有理数であって、可算選択公理により
或る互いに素な正の整数p、q＜p が存在して γ＝q/p と表せる
273(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 11:42:13.02 ID:ckJ79ZRm(3/25) AAS
>>271
>>268のような一意に正則無限連分数展開された実数を無理数という
なる無理数の定義は、杉浦 解析入門?の演習のところに書いてある
275(2): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 11:47:25.68 ID:ckJ79ZRm(4/25) AAS
>>272
杉浦 解析入門?では、一般に無理数が正則無限連分数表示された式の形で定義されている
278(2): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 12:01:34.61 ID:ckJ79ZRm(5/25) AAS
>>274
命題Aを γ∈Q なる命題とすれば、γは実数だから、¬A は γ∈R＼Q という命題を表し、
¬(¬A)≡A が成り立つから、γ∈R＼Q を仮定して矛盾が得られれば γ∈Q は真
という議論の進め方は分かる筈だが
280(3): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 12:15:47.32 ID:ckJ79ZRm(6/25) AAS
>>276
連分数の理論に従えば、もしγが有理数であれば、
ユークリッドの互除法によりγは正則な有限連分数で表される
γの具体的な正則な有限連分数の式や値は知らない
283(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 12:33:00.95 ID:ckJ79ZRm(7/25) AAS
>>281
γには
γ:＝lim_{n→+∞}(1＋1/2＋…＋1/n−log(n))
というγを定義する具体的な式がある
実数γに収束する極限の式だから、γを有理直線Q上で平行移動させたら、
γの違った解析に対する解析の方法が生じる
だから、γを有理直線Q上で平行移動させることは出来ない
286: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 12:37:06.16 ID:ckJ79ZRm(8/25) AAS
>>269
>>280
>つまり有限連分数展開可能と？
その通り
>有限って具体的にいくつ？
知らない
291(3): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 12:47:21.89 ID:ckJ79ZRm(9/25) AAS
>>285
a＞−1 なる実数aを任意に取って
(γ(a))_n＝1＋1/2＋…＋1/n−log(n＋a)
と定義したときに得られる実数列 {(γ(a))_n} の n→+∞ のときの極限
γ＝lim_{n→+∞}(1＋1/2＋…＋1/n−log(n＋a))
について、a＞−1 なる実数aに対して定義される
実数列 {(γ(a))_n} によらずに収束するから、
任意の a＞−1 なる実数aと任意の正の整数nに対して
(γ_n)(a)＝1＋1/2＋…＋1/n−log(n＋a)
と定義したときに得られる関数列 {(γ_n)(a)} a＞−1 が
n→+∞ のとき (γ_n)(a)→γ
とγに収束することとγの数値を利用すれば、
γが無理数ではなくγが有理数なることは示せる
γを有理直線Q上で平行移動させら、ここでの
実数列 {(γ(a))_n} a＞−1 は任意 や
関数列 {(γ_n)(a)} a＞−1 の解析の方法や結果が変わる
295(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 13:00:44.30 ID:ckJ79ZRm(10/25) AAS
>>293
式に関する話だから、分かる人には分かるだろうし、分からない人には分からないだろう
299: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 13:09:24.26 ID:ckJ79ZRm(11/25) AAS
>>296
だから、有理直線Q(一般に実数直線R)上で平行移動移動させられないといっている
>>297
当たり前の話だが
300(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 13:12:17.24 ID:ckJ79ZRm(12/25) AAS
>>298
ここに書く気はしない
301: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 13:15:56.29 ID:ckJ79ZRm(13/25) AAS
(γを)平行移動移動させられない → (γを)平行移動出来ない
304(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 13:33:23.87 ID:ckJ79ZRm(14/25) AAS
>>302
γを直線R上で平行移動させるとγの正則な連分数表示のされ方も変わる
このようなことは、一般の実数についていえる
310(2): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 16:46:54.50 ID:ckJ79ZRm(15/25) AAS
γを無理数と仮定する
仮定から、実数直線R上の無理数γの任意の近傍に属し、γに十分近い
可算無限個の 57/100＜q/p＜γ なる有理数 q/p q＞57 p＞100 に対して
γ∈(q/p、q/p＋1/p)⊂(57/100、58/100) である。また、q/p＋1/p＜58/100 だから、
γ−(q/p＋1/p)＞γ−58/100
＝lim_{n→+∞}(1＋1/2＋…＋1/n−log(n))−58/100
＝(1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7−log(7)−58/100)＋lim_{n→+∞}(1/8＋…＋1/n＋log(7)−log(n))
＝(2＋1/4＋＋1/5＋1/7−58/100−log(7))＋lim_{n→+∞}(1/8＋…＋1/n＋log(7)−log(n))
＝(2＋315/700＋100/700−406/700−log(7))＋lim_{n→+∞}(1/8＋…＋1/n＋log(7)−log(n))
＝(2＋9/700−log(7))＋lim_{n→+∞}(1/8＋…＋1/n＋log(7)−log(n))
＞0
しかし、γ＜q/p＋1/p だから、γ−(q/p＋1/p)＜0
よって矛盾が生じる。この矛盾はγを無理数と仮定したことから生じたから、背理法によりγは有理数である
大雑把だが、γの有理性の証明はこのような証明になる
311(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 16:54:22.04 ID:ckJ79ZRm(16/25) AAS
>>308
>>309
君達はγは無理数だといっていたから敢えて聞いてみたが、
結局具体的な間違いの指摘がなかった
314(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 17:45:36.68 ID:ckJ79ZRm(17/25) AAS
>>313
丁寧に書くと長いから、はじめここには書かないといっていたんだが
317(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 17:48:45.50 ID:ckJ79ZRm(18/25) AAS
実際はγを仮定しているから q/p＋1/p は q/p＋1/p^2 としてよい
319(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 17:51:25.93 ID:ckJ79ZRm(19/25) AAS
>>316
丁寧に書けば分かる筈だが、長くなるからはじめはここに書かないといっていた
322(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 17:54:02.30 ID:ckJ79ZRm(20/25) AAS
>>318
実際には幾つか段階を踏む証明である
323(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 18:01:04.89 ID:ckJ79ZRm(21/25) AAS
>>321
実際には幾つか段階を踏む証明だから、大雑把でいい加減な証明になっている
324(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 18:01:05.39 ID:ckJ79ZRm(22/25) AAS
>>321
実際には幾つか段階を踏む証明だから、大雑把でいい加減な証明になっている
327(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 18:07:39.73 ID:ckJ79ZRm(23/25) AAS
>>320
原理的には、オイラー・マクローリンの総和公式を使ってγを漸近展開すれば、
背理法を使わなくてもγが有理数であることは判明するようになっているだろう
ただ、これは実際に使える証明の方法ではない
330(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 18:12:29.13 ID:ckJ79ZRm(24/25) AAS
>>325
>>326
γの小数点以下の数値の桁数は膨大だから、
実務的にはγの値を求めるのにオイラー・マクローリンの総和公式が使えない
332(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 18:37:54.16 ID:ckJ79ZRm(25/25) AAS
>>331
それだから、オイラー・マクローリンの総和公式による漸近展開の方法が使えないといっている
多分オイラー・マクローリンの総和公式は多くの微分積分の本には載っていないだろう
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