[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
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126(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/11(日) 20:30:09.98 ID:F7vNf+MQ(1/6) AAS
>>117
三四郎を読む教養人数学者の言葉は難しい
google AIは下記です
google検索:圏において 両側可逆な射を全単射と呼ぶ
(AI responses may include mistakes.)
AI による概要
圏論において、両側可逆な射（つまり、逆射を持つ射）は、一般的には「全単射」と呼ばれます。ただし、これは集合論における「全単射」とは意味が少し異なる場合があります。圏論での「両側可逆な射」は、その逆射が定義され、かつ、その逆射との合成が恒等射になる、という性質を持つ場合に指します。
解説:
両側可逆な射:
圏論において、射 f: X -> Y が両側可逆であるとは、ある射 g: Y -> X が存在して、f*g = id_X （つまり、f と g の合成が X の恒等射）かつ、g*f = id_Y （つまり、g と f の合成が Y の恒等射）となることを意味します。
集合論における全単射:
集合論では、全単射とは、単射（1対1）かつ全射（onto）である写像を指します。
圏論と集合論の全単射:
圏論での「両側可逆な射」は、集合論における「全単射」と似た概念ですが、圏論では、逆射を持つことがより重要視されます。具体的には、圏論の context（圏）によっては、両側可逆な射が、集合論の全単射と必ずしも同じ意味とは限りません。例えば、集合の圏（Set）では、両側可逆な射は、集合論における全単射と一致しますが、他の圏（例えば、位相空間の圏、または群の圏）では、必ずしもそうとは限りません。
まとめ:
圏論において、両側可逆な射は、一般的に「全単射」と呼ばれますが、その意味合いは集合論における「全単射」とは異なる場合があります。圏論では、逆射を持つことが重要であり、その逆射との合成が恒等射になる場合に、「両側可逆な射」と呼びます。
つづく
127: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/11(日) 20:30:37.80 ID:F7vNf+MQ(2/6) AAS
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8B%E3%83%83%E3%82%AF%E5%B0%84
圏論においてモニック射（英: monic morphism）、モノ射（monomorphism）あるいは単射[1]とは、左簡約可能（left cancelable）な射を言う。X から Y へのモニック射は X ↪ Y と表記される。
これは集合間の写像の意味での単射の抽象化であり、射が写像であり集合論的な意味での単射であれば圏論的な意味でのモニック射であるが、逆は必ずしも成り立たない。しかしながら、集合の圏や群の圏、環上の加群の圏、位相空間の圏などでは、モニック射は集合論の意味での単射である[2]。
モニック射の圏論的双対はエピ射であり、圏 C のモニック射は逆圏 Cop のエピ射に対応する。すべてのセクション（section）はモニック射であり、すべての制限射（retraction）はエピ射である。
用語
モノ射とエピ射の用語は元々はニコラ・ブルバキによって導入された。ブルバキはモノ射を入射関数（injective function）の省略系として使用した。初期の圏論論者は、入射性の圏論の文脈における正しい一般化は上記の簡約可能性（cancelable）にあると信じていたが、これはモニック射に対しては正確には一般に正しくないものの、非常に近いため、エピ射の場合とは異なり、問題はほとんど発生しない。ソーンダース・マックレーン は、彼がモノ射と呼ぶものを区別しようとした。彼は入射的な集合写像を基礎に持つ具体圏の射をモノ射と呼び、圏論的意味を持つ用語としてのモノ射をモニック射と呼ぼうとした。ただし、この区別は一般的には使用されなかった。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%94%E5%B0%84
圏論において、エピ射（epimorphism）、エピック射 (epic morphism)、あるいは全射[1] とは、右簡約可能（right cancelable）な射のことを言う。X から Y へのエピ射は X ↠ Y と表記される。
これは集合間の写像の意味での全射の抽象化であり、射が写像であり集合論的な意味で全射であれば圏論的な意味でエピ射であるが、逆は必ずしも成り立たない。例えば可換環の圏における整数環から有理数体への包含写像 Z → Q が反例となる[2]。しかしながら、集合の圏[3]や群の圏[4]、環上の加群の圏[5]などでは、圏論の意味での全射は集合論の意味での全射と一致する。
用語
ブルバキはエピ射を全射関数（surjective function）の省略形として使用した。初期の圏論家は、モノ射が入射の正確な類推に非常に近いのと同じように、任意の圏においてエピ射は全射の正しい類推であると信じた。不幸なことにこれは間違いであった。
(引用終り)
以上
129(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/11(日) 20:52:35.15 ID:F7vNf+MQ(3/6) AAS
>>111
>コーシー列が収束しない、有理数全体の集合から
>コーシー列が収束する、実数全体の集合を
>どうやって構成するかが、実数論の要
ふっふ、ほっほ
下記を百回音読してねｗ
これに尽きている
つまり
・コーシー列が、完備な空間内に収束することは、カントール以降の数学人はみな知っている
（”コーシー列は必ず収束するので、|xn − xm| を評価してコーシー列か判定すれば、極限値を仮定することなく収束性が判定できる”）
・有理数全体の集合 Qが、完備で無いことも、カントール以降の数学人はみな知っている（古代ギリシャからかもだが）
・問題は、有理数のコーシー列を全て添加することで、実数体Rの構成に到達できるか否か（抜けがないか）？だ
問題の把握の仕方が、あさってだな ｗ ；ｐ）
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列
一般に、任意の収束列はコーシー列であるが、その一方で、コーシー列は完備でない空間では必ずしも(その空間内に)収束しない。 例えば、ガウス記号 [·] を用いて作った数列 {[n √2]/n}[注 1]は、有理数の列（Q 内の点列）と見ることも、実数の列（R 内の点列）と見ることもできて、いずれの見方によってもコーシー数列となっているものであるが、R 内の点列と見れば √2 に収束する収束列であるのに対して、√2 は有理数ではないから有理数全体の集合 Q 内で収束することはない。
実数におけるコーシー列
実数列あるいは実ユークリッド空間内の点列のみに関して言うならば、それが収束することとコーシー列であることは同値となる。
この場合であれば、コーシー列は必ず収束するので、|xn − xm| を評価してコーシー列か判定すれば、極限値を仮定することなく収束性が判定できる
136(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/11(日) 23:16:27.94 ID:F7vNf+MQ(4/6) AAS
>>129 補足
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence
Cauchy sequence
In real numbers
A sequence
x1,x2,x3,… of real numbers is called a Cauchy sequence if for every positive real number
ε, there is a positive integer N such that for all natural numbers
m,n>N,
|xm−xn|<ε,
where the vertical bars denote the absolute value.
In a similar way one can define Cauchy sequences of rational or complex numbers.
Cauchy formulated such a condition by requiring
xm−xn to be infinitesimal for every pair of infinite m, n.
For any real number r, the sequence of truncated decimal expansions of r forms a Cauchy sequence.
For example, when r=π, this sequence is (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). The mth and nth terms differ by at most
10^(1−m) when m < n, and as m grows this becomes smaller than any fixed positive number ε.
(引用終り)
上記のような、無限小数展開との関係は、重要だ
有限小数は、有理数でもあるから
有限小数よるコーシー列は、有理コーシー列であるから
有理コーシー列の集合から、有限小数コーシー列の集合へ、全射が存在する
一方、有理コーシー列の同値類(定義は下記の原隆)において
同値類の中に、一つ単調増加列が存在することを認めると
（単調増加列は必須ではないが、説明の便法として使用）
その単調増加列の有理数を小数展開して 有限小数よるコーシー列に落とせる
例えば、ε＝10^k （kを十分大きく取る）とおくと
|xm−xn|<10^k であるから
小数の言葉に直すと
差 |xm−xn| は、小数k位以下の差しかないとなる
つまりは、xmとxnなどは 殆どが 小数k-1位までは一致しているということ
（ xmを小数展開して 小数k位までを求めて、それをもとに 1桁ずつ増える有限小数のコーシー列が構成できる。それを繰り返す）
但し、例外的に繰り上がりの問題が生じる
つまり、例えば 3.14159・・・という数で
xm＝3.14159,xm+1＝3.141599,xm+1＝3.1416001
のように
xm+1-xm＝0.0000101
となるような
つまり 数字9が連なると、繰り上がりで 5→6 に変わることが起きる
但し、無理数を考えると 無限循環 99999・・ は禁止され
必ず 9以外の数が 小数展開中に無限に出現するので
9の繰り上がりは、数学的に処理可能
よって、無理数の小数展開から作られる 一桁ずつ増える単調増加列と
有理コーシー列の同値類とは対応がついて 単射
よって、有理コーシー列の同値類の集合 ←→ 無理数の一桁ずつ増える有限小数コーシー列の集合
は 全単射
（これら 無理数の小数展開は 我々の日常であって、常識でもある）
つづく
137: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/11(日) 23:16:49.06 ID:F7vNf+MQ(5/6) AAS
つづき
(参考)
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/index-j.html
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/07/realnumbers.pdf
実数の構成に関するノート∗原 隆 （九州大学数理学研究院）
九州大学2006,2007年春学期「数学II」「微分積分学・同演習A」への補足
P23
同値関係∼であるが，これはAの２つの元{xn}と{yn}（どちらも有理数のコーシー列である）に対して，{xn} ∼ {yn}とは lim n→∞ |xn −yn| = 0 となること(3.2.3)
と定義する（上の極限はすべて，有理数の範囲で，通常のε-Nで定義できている）．
Ｐ24
3.2.2 同値類の実際の形
同値類がよく見えないという人もいると思うので，ちょっと余分なことを書いておく．
まず，上のお約束に従って，ゼロを表す同値類を考える：N :=[{0}] := {an}∞ n=1 {an}は有理コーシー列で lim n→∞ an =0} (3.2.6)
ある有理コーシー列{bn}と同値な有理コーシー列{b'n}は lim n→∞ |bn −b'n| = 0を満たす．
このとき，b'n−bnも有理コーシー列であるので，b'n−bn∈N であると言える．
逆に，{bn}が有理コーシー列の時，{an} ∈ N を持ってきてb'n := bn+anを考えると，この{b'n}は有理コーシー列でかつ，{b'n}は{bn}と同値だと言える
以上から，ある有理コーシー列{bn}の同値類は
[{bn}] = {bn +an} | {an} ∈ N} (3.2.7)
と書ける事がわかる（{an+bn}とは第n項がan+bnである数列を表す）．
つまり，ある代表元にN に入っている数列を足したもの全体が，同値類になっているのだ．
(引用終り)
以上
138: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/11(日) 23:19:06.59 ID:F7vNf+MQ(6/6) AAS
>>136 タイポ訂正
xm＝3.14159,xm+1＝3.141599,xm+1＝3.1416001
のように
xm+1-xm＝0.0000101
↓
xm＝3.14159,xm+1＝3.141599,xm+2＝3.1416001
のように
xm+2-xm＝0.0000101
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