ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

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208(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/12(月) 11:14:51.37 ID:BWkzqcBy(2/6) AAS
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列自己漸近列
一般のコーシー点列
一般の距離空間 (X, d) 内の点列 (xn) についても、コーシー性を定義することができる。(xn) がコーシー列であることは、差のノルムの代わりに距離関数 d を用いることによって、つまり
lim n,m→∞ d(xn,xm)=0
を満たすことであると定義することができる。
したがって、ノルム線型空間特にバナッハ空間やヒルベルト空間など、物理学などにおいても重要な応用を持つ空間で、コーシー列を考えることができる。
また、距離空間ではない位相空間でも、同様の概念を考えることができる。特に位相群や位相線型空間のような一様構造を持つ位相代数系などでは、基本近傍系を考えることによってコーシー列を構成することができる。
コーシー列の収束性と空間の完備性
距離空間 (X, d) が、その任意のコーシー列が X 上に極限を持つとき完備であるといい、完備である距離空間を完備距離空間、または単に完備空間という。
“実数の連続性”は、実数全体の成す距離空間 R が完備であることを意味している。すでに述べたように、Rk や Ck などもすべて完備である。

https://scrapbox.io/nobuoka-pub/%E6%89%8B%E3%81%AE%E5%86%85%E5%8C%96
nobuoka-pub
手の内化
『[ソフトウェア・ファースト ― あらゆるビジネスを一変させる最強戦略]』より
[手の内化]とは[トヨタグループ]で使われている言葉です。 [トヨタ]企業サイトの『トヨタ自動車 75 年史 https://www.toyota.co.jp/jpn/company/history/75years/ 』によると、80 年代に発展したカーエレクトロニクス分野の関連機能をグループ内で内製化したことを「手の内化」と記しています。筆者なりにその意味を解釈すると、自社プロダクトの進化にかかわる重要な技術を自分たちが主導権を持って企画・開発し、事業上の武器にしていくことを「手の内化する」と言うのでしょう。
(引用終り)
以上

222(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/12(月) 18:06:59.37 ID:BWkzqcBy(5/6) AAS
>>213
(引用開始)
>世界で活躍する日本人を見るのは、うれしいものです
>がんばれニッポン！チャチャチャ！！
キモっ！！！！！！！
(引用終り)

"キモっ"か・・ｗ
前世紀の70年安保のころかあるいはそれ以降の新左翼の連中が使っていた言葉で
”日帝（にってい）”を連想した

前世紀
アメリカ帝国主義と並んで ”日帝（にってい）”が、語られた時代があった
そのとき、「旧ソ連（いまロシア）や中国(中共)は、新左翼の論理では、帝国主義ではない！」とされたｗ

21世紀のいま ”日帝（にってい）”は、どうも反日教育の中国(中共)や韓国で使われているのかもしれないね
いま上記で"キモっ"を聞くと、反”日帝”あるいは ”反日”を連想するのは、私だけだろうか？（反語）ｗ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E5%B8%9D
日帝（にってい）は以下のいずれかを指す略語として使用されることがある。
日本帝国主義
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%B8%9D%E5%9B%BD%E4%B8%BB%E7%BE%A9
日本帝国主義
日本帝国主義（略称: 日帝[1]）
第二次世界大戦終結後の日本に対しては、「日本帝国主義」や「日帝」との表現は、特に韓国、中国においては反日の批判が内在し、日本の軍事大国への復活の恐怖や、その戦後処理が不十分と考える立場からの批判的な意味を強く持っている。

397: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 2025/05/17(土) 08:39:59.37 ID:bT5AR98I(2/12) AAS
物理は産婦人科からダブってる老人ホームに多い。

415: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/17(土) 10:46:34.37 ID:y2zepp9J(4/13) AAS
>>414
>下記2011年一橋大学時代か。これ一橋大の講義か？もしそうなら一橋大おそるべし（＾＾；

これ下記の如く
大学院の講義らしい
にしてもやっぱり一橋大おそるべし

https://www1.econ.hit-u.ac.jp/hokoku/information_disclosure/2009/pdf/MA_fujioka.pdf
藤岡敦ふじおかあつし
1. 学歴
1990 年 3月東京大学理学部数学科卒業
1990 年 4月東京大学大学院理学研究科修士課程数学専攻入学
1996 年 3月東京大学大学院数理科学研究科博士課程数理科学専攻修了（博士（数理科学）取得）

3. 学内教育活動
（a）学部学生向け線型代数?B，微分積分?，微分積分?B，微分積分?，集合と位相?，微分積分続論，解析学，幾何学，現象数理，基礎数理
（b）大学院基礎数理，数理構造?，数理解析?

443(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/17(土) 23:31:18.37 ID:y2zepp9J(12/13) AAS
>>442 タイポ訂正

なので、「RからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)はQでの値だけで一意的に定まるか？」では一様収束は不要
「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」では一様収束は必要
　↓
なので、「RからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)はQでの値だけで一意的に定まるか？」では一様連続は不要
「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」では一様連続は必要

456(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/19(月) 14:45:56.37 ID:q68wgaXf(1/2) AAS
>>449 裏話さらに追加
　>>399より
Q：”「実数から実数への連続関数は
　すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」”

この問題で、まず浮かんだ典型例がよく知られたディリクレの関数、トマエ関数など病的関数で
（ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%97%85%E7%9A%84%E3%81%AA_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
（上記wikipediaより”「病的な関数」の古典的な例の一つに、至る所で連続であるが至る所微分不可能な、ワイエルシュトラス関数と呼ばれるものがある”）

ディリクレの関数は、有理点で1、無理数点で0を取る関数で、いたるところ不連続
トマエ関数は、有理点で1/q (at p/q(既約分数))、無理数点で0を取る関数で、無理数点で連続で有理点で不連続

さらに（下記）"Modifications of Thomae's Function and Differentiability"があって、これ旧ガロアすれで取り上げたことがある（10年ほど前に）
下記は、要するに有理点で1/q よりも早く減衰する場合（例えば 2乗 (1/q^2) など）は、無理数点で微分可能にできるということだ

なので、今の場合に当てはめると、このような病的な場合を抑えるには
単なる連続では足りないのでは？　と思ったわけです
（てっきり病的な場合のヒッカケを警戒していたのだがｗｗ）

その視点で、ちょっと検索すると
　>>414の”定理稠密集合上での一様連続関数は一意に拡張できる”
”はてなブログ Branched Evolution
2020/08/16 — 距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる”
がヒットしたので、”一様連続”が必要と思った次第

　>>423の”Copilot”の証明など全く信用するに足りないので
（”Copilot”が、一様連続と（単なる）連続の微妙な機微を理解しているわけないからなぁ〜ｗｗ；ｐ）

なので、”Copilot”の証明を受けて再度検索してみたが、和文ではめぼしい文献がヒットしなかったのです
そこで、>>442のように英文で検索すると stackexchange がヒットしてなるほどと思ったわけだ

余談>>428より
”匿名なので正直にぶっちゃけるが・・・
正直、定理については知ってたが、証明は知らんかったｗ”

ここは、こちらも正直その定理は初耳だったよ
和文の情報はなかなかヒットしなかったし
英文でも下記の”Mathematical Statistics”の付録で
”(b) A continuous function is determined by its values on any dense subset of R (in other words: if D is a dense subset of R and if two continuous functions f,g are equal on D, then they must be equal on R, so f = g).”
がヒットするくらいなのだ

勉強不足のいいわけだが、機会あれば和書の実解析の本チラ見してみるわｗ；ｐ）
多分、日本だと上記”距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる”
のついでに教えているのかもね・・（少ない講義時間で寄り道をしていると ”寄り道の多い数学”者と言われるかもだろう；ｐ）

つづく

457: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/19(月) 14:46:26.37 ID:q68wgaXf(2/2) AAS
つづき

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E9%96%A2%E6%95%B0
ディリクレの関数

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9E%E3%82%A8%E9%96%A2%E6%95%B0
トマエ関数
https://en.wikipedia.org/wiki/Thomae%27s_function
Thomae's function
References
1. Beanland, Kevin; Roberts, James W.; Stevenson, Craig (2009), "Modifications of Thomae's Function and Differentiability", The American Mathematical Monthly, 116 (6): 531–535, doi:10.4169/193009709x470425, JSTOR 40391145

(上記 1の表題などから再検索すると全文が読めるサイトが見つかる（>>425でも貼ったが）)
https://www.researchgate.net/publication/233525067_Modifications_of_Thomae's_Function_and_Differentiability
Modifications of Thomae's Function and Differentiability
ResearchGate
2016/08/05 — ... Modifications of Thomae's Function and Differentiability. June 2009 ... Mathematical Monthly. Kevin Beanland · James W. Roberts · Craig Stevenson.

（なお、検索で ”Mathematical Statistics”の補足資料で ”(b) A continuous function is determined by its values on any dense subset of R (in other words: if D is a dense subset of R and if two continuous functions f,g are equal on D, then they must be equal on R, so f = g).”
　と出てくる。突然で不思議な気がする。面白がっているのか？；ｐ）
https://helios2.mi.parisdescartes.fr/~tleble/teaching/MathStatS19/
Mathematical Statistics - MATH-UA.0234 (Spring 2019)
Course description: An introduction to statistics, on the mathematical side.
Sessions
Jan 29: Logistics and introduction. Definition of a statistical model, a statistic, an estimator. Reminders on probability distributions.
Sections 6.1--6.2.
A note on the distinction between parametric/non-parametric models (reading is optional).（これか下記のPDF）
https://helios2.mi.parisdescartes.fr/~tleble/teaching/MathStatS19/additional/continuousisparametric.pdf
(抜粋)
（Perhaps surprisingly, the following result is true:）
2. Given a function f in C0(R,R), we may encode it by only keeping track of its values on Q, instead of R.
This is because:
(a) The rational numbers are dense in R (in other words: every real number is a limit of a sequence of rational numbers).
(b) A continuous function is determined by its values on any dense subset of R (in other words: if D is a dense subset of R and if two continuous functions f,g are equal on D, then they must be equal on R, so f = g).
(引用終り)
以上

628(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/22(木) 22:57:07.37 ID:5P73u/KF(2/2) AAS
Jean‐Pierre Tignol 著「代数方程式のガロアの理論」
が手元にある

目次は下記の通り
第12章　ガウスの円分方程式
第14章　ガロア

第14章の冒頭で、Jean‐Pierre TignolはガウスDAの第7章についてとりあげその序文
で、”例えば積分∫ dx/√(1-x^4) に依存している超越関数や・・・合同式に対しても適用される”
との記述を引用して
積分∫ dx/√(1-x^2)＝sin^-1 x が弧の長さで
積分∫ dx/√(1-x^4) はレムニスケートの弧の長さだと
説く

アーベルはこのガウスの示唆に導かれて研究を推し進め
"アーベルは次の偉大な一般化に到達した（1829年に公表された）”
として ”定理（アーベル）”について Jean‐Pierre Tignol は解説する

つまり、ガウス自身がDAでほのめかした通りで
DAの円分論だけでは、決して ”定理（アーベル）”には到達できない
（ガウスが、どこまでの高みに到達していかは別として、DAの円分論だけでは不足）

その後、Jean‐Pierre Tignolは、ガロア第一論文にそって
ガロアの方程式論を論じている

要は、そういうことです（上記の通り）

(参考)
https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10010366.html
共立出版
代数方程式のガロアの理論
著者 Jean‐Pierre Tignol 著・新妻弘訳
分野数学 > 数学一般 > 数学史
発売日 2005/03/01

第12章　ガウスの円分方程式
12.1　はじめに
12.2　整数論的準備
12.3　素数指数の円分多項式の既約性
12.4　円分方程式の周期
12.5　ベキ根による可解性
12.6　円分多項式の既約性
付録：正多角形の定規とコンパスによる作図

第13章　一般方程式におけるルフィニとアーベル

第14章　ガロア
14.1　はじめに
14.2　方程式のガロア群
14.3　体の拡大におけるガロア群
14.4　ベキ根による可解性
14.5　応用
付録：ガロアによる置換群の表現

660: １３２人目の素数さん [] 2025/05/24(土) 09:44:37.37 ID:bcNTDQwA(5/22) AAS
数学に関するエピソードで好きなのは
ホ・ジュニと広中平祐に関する話かな

映画化してほしいけどね　マジで

893(1): １３２人目の素数さん [] 2025/05/27(火) 09:17:29.37 ID:pkqtDJmd(1) AAS
>>892　僕は山下純一ではないよ（嘲）

986(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/28(水) 10:59:50.37 ID:vzADU7Bh(2/5) AAS
>>981
光秀殿か
中国大返し天敵の秀吉でござる

１）Ｇｒｏｋとか AIに対して高等数学の内容を日本語で質問することの危険性を把握しておくべき
　思うに、ハルシネーションの危険性が高まるだろう
２）代数方程式のガロア理論とは何か？特にラグランジュ分解式との関係
　ガロア理論は、ラグランジュ理論を発展させたもの
　だから、ラグランジュ分解式を当然包含している
　そして、ガロア理論の中ではラグランジュ分解式は相対化されている（絶対的存在ではない）
　つまり、ラグランジュ分解式の代用はいくらでもある
　ラグランジュ分解式の代用として、どのような式が適当かもガロア理論で可否判断が可能です
３）つまり、代数方程式のガロア理論の本質は、ラグランジュ分解式をはるかに超えた
　抽象代数学の群と体の話にまで視点を高めることで、ガロア理論の全体像が見えてくる
　ラグランジュ分解式の役割も、多数の分解式の中の "one of them" という位置づけが見えてくるってことです
以上

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%9B%BD%E5%A4%A7%E8%BF%94%E3%81%97
中国大返し
備中大返し（びっちゅうおおがえし）または中国大返し（ちゅうごくおおがえし）は、戦国時代末期の天正10年6月（西暦1582年6月 - 7月）、備中高松城の戦いにあった羽柴秀吉が主君織田信長の本能寺の変での自害を知った後、速やかに毛利氏との講和を取りまとめ、主君の仇明智光秀を討つため、中国路を京に向けて全軍を取って返した約10日間にわたる軍団大移動のこと。

備中高松城（岡山県岡山市北区）から山城山崎（京都府乙訓郡大山崎町）までの約230kmを踏破した、日本戦史上屈指の大強行軍として知られる。この行軍の後、秀吉は摂津・山城国境付近の山崎の戦いにおいて明智光秀の軍を撃破した。

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