面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (373ﾚｽ)
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抽出解除 必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞 あぼーん

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48: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/19(月) 17:27:54.90 ID:yQLH9V6a(1) AAS
命題pに対し、真の時は1、偽の時は0という値を取る関数を 【p】 と表すと

Floor[n^(1/k)]
=【n^(1/k)≧1】+【n^(1/k)≧2】+【n^(1/k)≧3】+ 【n^(1/k)≧4】+ ...
=【n≧1^k】+【n≧2^k】+【n≧3^k】+ 【n≧4^k】+ ...
= Σ[j=1,∞]【n≧j^k】= Σ[j=1,n]【n≧j^k】

Floor[Log_k(n)]
=【Log_k(n)≧1】+【Log_k(n)≧2】+【Log_k(n)≧3】+【Log_k(n)≧4】+ ...
=【n≧k^1】+【n≧k^2】+【n≧k^3】+【n≧k^4】+ ...
=Σ[j=1,∞]【n≧k^j】=Σ[j=1,n]【n≧k^j】
と書ける

左辺=Σ[k=2,n] Floor[n^(1/k)] = Σ[k=2,n]Σ[j=1,n]【n≧j^k】= n-1 + Σ[k=2,n]Σ[j=2,n]【n≧j^k】
右辺=Σ[k=2,n] Floor[Log_k(n)] = Σ[k=2,n]Σ[j=1,n]【n≧k^j】= n-1 + Σ[k=2,n]Σ[j=2,n]【n≧k^j】= 左辺

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