面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (230ﾚｽ)
面白い数学の問題おしえて～な 44問目 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/
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127: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:47:59.11 ID:pCjWjeqh mod 2 で考えて b>0、左辺>0 より d>0 (a,c) ≡ (0,0) (mod 2), b=1 ⇒ 3^a⋅4^b + 5^c ≡ 1 ≡ 7^d ( mod 8 ) (a,c) ≡ (0,1) (mod 2), b=1 ⇒ 3^a⋅4^b + 5^c ≡ 1 ≡ 7^d ( mod 8 ) (a,c) ≡ (1,0) (mod 2), b≧2 ⇒ 3^a⋅4^b + 5^c ≡ 1 ≡ 7^d ( mod 8 ) (a,c) ≡ (1,1) (mod 2), b≧2 ⇒ 3^a⋅4^b + 5^c ≡ 6 ≡ 7^d ( mod 8 ) ...④ ∴ d : even http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/127
128: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:48:17.42 ID:pCjWjeqh c が奇数とする。 a>0 なら左辺 ≡ 5^c ≡ 2 ( mod 3 ), 右辺 ≡ 7^d ≡ 1 ( mod 3 ) で矛盾するから a=0, ④より b=1。 よって 5^c = (7^(d/2)+2)(7^(d/2)-2)。 よって 7^(d/2)+2, 7^(d/2)-2 は５べきでともに 2 以上だから 5 の倍数だが差が 4 より矛盾。 ∴ c は偶数。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/128
129: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:48:34.58 ID:pCjWjeqh 3^a4^b = (7^(d/2) + 5^(c/2))(7^(d/2) - 5^(c/2)) (7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2)) = (2⋅7^(d/2) , 7^(d/2) - 5^(c/2)) = 2 ∴ (7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2)) = (2, 3^a4^b/2), (←明らかに不可能) (3^a⋅4^b/2,2), (2⋅3^a,4^b/2), (4^b/2,2⋅3^a), http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/129
130: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:48:50.73 ID:pCjWjeqh (i) (7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2)) = (3^a⋅4^b/2,2) のとき 2⋅5^(c/2) + 2 = 7^(d/2) + 5^(c/2) = 3^a⋅4^b/2 5^(c/2) + 1 = 3^a⋅4^(b-1) ∴ c>0, a:even, 5^(c/2) = (3^(a/2)⋅2^(b-1) + 1)(3^(a/2)⋅2^(b-1) - 1) 3^(a/2)⋅2^(b-1) + 1), 3^(a/2)⋅2^(b-1) - 1 はともに 5 べきで差が２より矛盾。 ∴(i) に解なし。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/130
131: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:49:07.88 ID:pCjWjeqh (ii) (7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2)) = (2⋅3^a,4^b/2) のとき 7^(d/2) + 5^(c/2) ≧ 7+1 だから a>0 であり c は奇数。よって④より b=1 ∴ 7^(d/2) - 5^(c/2) = 2 ∴ 7^(d/2) - 5^(c/2) = 2 2⋅5^(c/2) + 2 = 7^(d/2) + 5^(c/2) = 2⋅5^(c/2) + 2 = 2⋅3^a 5^(c/2) = 3^a - 1 mod 2 で考察して解なし。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/131
132: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:49:22.08 ID:pCjWjeqh (iii) (7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2)) = (4^b/2,2⋅3^a) のとき 7^(d/2) = 4^(b-1) + 3^a 5^(c/2) = 4^(b-1) - 3^a a = 0 とする。 5^(c/2) = (2^(b-1) + 1)(2^(b-1) - 1) 2^(b-1) + 1 と 2^(b-1) - 1 は差が 2 の５べきより解なし。 ∴ a≠0 ∴ 5^(c/2) = 4^(b-1) ( mod 3 ) ∴ c/2 : even http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/132
133: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:50:04.77 ID:pCjWjeqh 3^a = ( 2^(b-1) + 5^(c/4) )( 2^(b-1) - 5^(c/4) ) ( 2^(b-1) + 5^(c/4), 2^(b-1) - 5^(c/4) ) = ( 2^b, 2^(b-1) - 5^(c/4)) は 3^a と 2^b の公約数だから 1。 ∴ 2^(b-1) - 5^(c/4) = 1, 2^(b-1) + 5^(c/4) = 3^a ∴ 2^(b-1) ≡ 5^(c/4) + 1 ( mod 8 ) ∴ c/4 : even, b=2 ∴ c = 0 ∴ 3^a⋅16 + 1 = 7^d ∴ 3^a⋅16 = (7^(d/2)+1)(7^(d/2)-1) (7^(d/2)+1)/2,(7^(d/2)-1)/2 は差が 1 よりいずれかが3べきでいずれかが2べき 7^(d/2)+1 = 2⋅3^u、7^(d/2)-1 = 2^v とする。 7^(d/2)-1 ≡ 2^v ( mod 8 ) より d/2 は偶数だがこのとき 0 ≡ 7^(d/2)-1 ≡ 2^v ( mod 3 ) で矛盾。 ∴ 7^(d/2)+1 = 2^v、7^(d/2)-1 = 2⋅3^u となる。 7^(d/2)+1 は 8 以上の 2 べきだから 8 の倍数。よって d/2 は奇数であり 7^(d/2)+1 = (7+1)(7^(d/2-1)-7^(d/2-2)+...+1) が 2 べきで 7^(d/2-1)-7^(d/2-2)+...+1 は奇数だから 1 。 ∴ d=2, a=1 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/133
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