面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (230ﾚｽ)
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127: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:47:59.11 ID:pCjWjeqh(1/7) AAS
mod 2 で考えて b>0、左辺>0 より d>0
(a,c) ≡ (0,0) (mod 2), b=1 ⇒ 3^a⋅4^b + 5^c ≡ 1 ≡ 7^d ( mod 8 )
(a,c) ≡ (0,1) (mod 2), b=1 ⇒ 3^a⋅4^b + 5^c ≡ 1 ≡ 7^d ( mod 8 )
(a,c) ≡ (1,0) (mod 2), b≧2 ⇒ 3^a⋅4^b + 5^c ≡ 1 ≡ 7^d ( mod 8 )
(a,c) ≡ (1,1) (mod 2), b≧2 ⇒ 3^a⋅4^b + 5^c ≡ 6 ≡ 7^d ( mod 8 ) ...④
∴ d : even
128: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:48:17.42 ID:pCjWjeqh(2/7) AAS
c が奇数とする。
a>0 なら左辺 ≡ 5^c ≡ 2 ( mod 3 ), 右辺 ≡ 7^d ≡ 1 ( mod 3 ) で矛盾するから a=0, ④より b=1。
よって 5^c = (7^(d/2)+2)(7^(d/2)-2)。
よって 7^(d/2)+2, 7^(d/2)-2 は５べきでともに 2 以上だから 5 の倍数だが差が 4 より矛盾。
∴ c は偶数。
129: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:48:34.58 ID:pCjWjeqh(3/7) AAS
3^a4^b = (7^(d/2) + 5^(c/2))(7^(d/2) - 5^(c/2))
(7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2)) = (2⋅7^(d/2) , 7^(d/2) - 5^(c/2)) = 2
∴ (7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2))
=
(2, 3^a4^b/2), (←明らかに不可能)
(3^a⋅4^b/2,2),
(2⋅3^a,4^b/2),
(4^b/2,2⋅3^a),
130(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:48:50.73 ID:pCjWjeqh(4/7) AAS
(i) (7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2)) = (3^a⋅4^b/2,2) のとき
2⋅5^(c/2) + 2 = 7^(d/2) + 5^(c/2) = 3^a⋅4^b/2
5^(c/2) + 1 = 3^a⋅4^(b-1)
∴ c>0 a:even,
5^(c/2) = (3^(a/2)⋅2^(b-1) + 1)(3^(a/2)⋅2^(b-1) - 1)
3^(a/2)⋅2^(b-1) + 1), 3^(a/2)⋅2^(b-1) - 1 はともに 5 べきで差が２より矛盾。
∴(i) に解なし。
131: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:49:07.88 ID:pCjWjeqh(5/7) AAS
(ii) (7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2)) = (2⋅3^a,4^b/2) のとき
7^(d/2) + 5^(c/2) ≧ 7+1 だから a>0 であり c は奇数。よって④より b=1
∴ 7^(d/2) - 5^(c/2) = 2
∴ 7^(d/2) - 5^(c/2) = 2
2⋅5^(c/2) + 2 = 7^(d/2) + 5^(c/2) = 2⋅5^(c/2) + 2 = 2⋅3^a
5^(c/2) = 3^a - 1
mod 2 で考察して解なし。
132: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:49:22.08 ID:pCjWjeqh(6/7) AAS
(iii) (7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2)) = (4^b/2,2⋅3^a) のとき
7^(d/2) = 4^(b-1) + 3^a
5^(c/2) = 4^(b-1) - 3^a
a = 0 とする。
5^(c/2) = (2^(b-1) + 1)(2^(b-1) - 1)
2^(b-1) + 1 と 2^(b-1) - 1 は差が 2 の５べきより解なし。
∴ a≠0
∴ 5^(c/2) = 4^(b-1) ( mod 3 )
∴ c/2 : even
133: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:50:04.77 ID:pCjWjeqh(7/7) AAS
3^a = ( 2^(b-1) + 5^(c/4) )( 2^(b-1) - 5^(c/4) )
( 2^(b-1) + 5^(c/4), 2^(b-1) - 5^(c/4) ) = ( 2^b, 2^(b-1) - 5^(c/4)) は 3^a と 2^b の公約数だから 1。
∴ 2^(b-1) - 5^(c/4) = 1, 2^(b-1) + 5^(c/4) = 3^a
∴ 2^(b-1) ≡ 5^(c/4) + 1 ( mod 8 )
∴ c/4 : even, b=2
∴ c = 0
∴ 3^a⋅16 + 1 = 7^d
∴ 3^a⋅16 = (7^(d/2)+1)(7^(d/2)-1)
(7^(d/2)+1)/2,(7^(d/2)-1)/2 は差が 1 よりいずれかが3べきでいずれかが2べき
7^(d/2)+1 = 2⋅3^u、7^(d/2)-1 = 2^v とする。
7^(d/2)-1 ≡ 2^v ( mod 8 ) より d/2 は偶数だがこのとき 0 ≡ 7^(d/2)-1 ≡ 2^v ( mod 3 ) で矛盾。
∴ 7^(d/2)+1 = 2^v、7^(d/2)-1 = 2⋅3^u となる。
7^(d/2)+1 は 8 以上の 2 べきだから 8 の倍数。よって d/2 は奇数であり
7^(d/2)+1 = (7+1)(7^(d/2-1)-7^(d/2-2)+...+1)
が 2 べきで 7^(d/2-1)-7^(d/2-2)+...+1 は奇数だから 1 。
∴ d=2, a=1
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