面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (230ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞 あぼーん
ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡
155: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 00:58:45.69 ID:ZVmDyLNq(1/5) AAS
ちょうど n-1 個の +1 と n-1 個の -1 でだめですな
156: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 21:44:31.36 ID:ZVmDyLNq(2/5) AAS
幾何的証明
まず 超平面 c=0 を抜いてえられるユークリッド平面上で楕円曲線をプロットすると参考図のようになる。
(参考図)
https://ja.wolframalpha.com/input?i=c+%3D+1+%E3%81%AE%E3%81%A8%E3%81%8D+a%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3-3%28a%5E2b%2Bb%5E2c%2Bc%5E2a%2Bb%5E2a%2Bc%5E2b%2Ba%5E2c%29-5+a+b+c+%3D+0
この図の a,b>0 の部分に無限に有理点が存在することを示せばよい。参考動画にある有理点を P₀(a₀,b₀) (a₀>b₀>0) とする。
157: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 21:44:40.34 ID:ZVmDyLNq(3/5) AAS
参考図にあるとおり平面上連結成分が３つあるが、右上から順に C₁, C₂, C₃ とする。{Pₙ(pₙ,qₙ)} を相異なる無限有理点列とする。必要なら Pₙ を 直線 P₀Pₙ と曲線の交点に取り替えることにより lim Pₙ は曲線上の点 U(u,v) に収束するとしてよい。必要なら同じ置き換えをおこなって u≠v としてよい。 このとき有理点列 Qₙ(qₙ, pₙ) は V(v,u) に収束するとしてよい。このとき Pₙ , Qₙ の部分裂 (P’ₙ , Q’ₙ) を直線 P’ₙQ’ₙ の傾きが -1 でなく、よってこの直線と曲線の交点 R’ₙ が C₂ にありかつ n →∞ で C₂ の無限有理点列で非有界であるとしてよい。必要なら a=b で対称な点で取り替えて Sₙ を C₂ の無限有理点列で非有界かつすべて b<a の側にあるとしてよい。このとき十分おおきな n で 直線 P₀Sₙ と曲線の交点からなる有理点は a,b>0 の部分に属する。□
158: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 21:45:15.59 ID:ZVmDyLNq(4/5) AAS
解析的証明
曲線は適当に座標を選んで C: y² = 4x³ - (44836 x)/3 + 9481256/27 としてよい。 適当な τ,u を選んで(u²𝔭(τ,z),u³𝔭’(τ,z)) が C をパラメトライズできる。
159: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 21:45:20.64 ID:ZVmDyLNq(5/5) AAS
このときこの写像が群準同型を導くとしてよい。これを π とすれば G = cl(π⁻¹(ℙℚ²)) は ℂ の加法群の実一次元部分群である。開集合 U = π⁻¹(a>0b>0c>0) ∩ G は空でなく、π⁻¹(ℙℚ²)) は G の稠密部分集合だから U ∩ π⁻¹(ℙℚ²) は無限集合である。
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.012s