面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (372ﾚｽ)
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10: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/02(金) 23:31:47.28 ID:WyRmJZbH(1/3) AAS
半径 1/2 の円としてよい。４辺の弦の円周角を x,y,z,w とする。4 辺は sin(x), sin(y), sin(z), sin(w)、２本の対角線の長さは sin(x+y)=sin(z+w), sin(x+y)=sin(z+w) である。とくに 対角線の長さの２乗の和は 2 以下である。
R = {(x,y,z,w) ; x,y,z,w ≧ 0 , x+y+z+w = π } において
2(sin²(x)+sin²(y)+sin²(z)+sin²(w))
- (sin²(x+y)+sin²(y+z)+sin²(z+w)+sin²(w+x)) ≧ 0
を示せばよい。
S = 2(sin²(x)+sin²(y)+sin²(z)+sin²(w))
- (sin²(x+y)+sin²(y+z)+sin²(z+w)+sin²(w+x))
とおく。x=0 においては S = 2sin²(z) だから境界上では S≧0 である。
内点において S が極値をとるとき T = sin²(x)+sin²(y)+sin²(z)+sin²(w)、すなわち 4 辺の2乗和が 2となることを示せばよい。
11: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/02(金) 23:32:35.03 ID:WyRmJZbH(2/3) AAS
内点で極値をとる点では
2sin(x)cos(x) - cos(x+y) - cos(x+w)
= 2sin(y)cos(y) - cos(y+z) - cos(y+x)
= 2sin(z)cos(z) - cos(z+w) - cos(z+y)
= 2sin(w)cos(w) - cos(w+x) - cos(w+x)
が必要である。よって
sin(2x) - sin(2y) - cos(x+w) - cos(y+z) = 0
sin(x-y)cos(x+y) = 0
が必要であり同様にして
sin(y-z)cos(y+z) = 0, sin(z-w)cos(z+w) = 0, sin(w-x)cos(w+x) = 0
が必要である。
12(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/02(金) 23:32:51.20 ID:WyRmJZbH(3/3) AAS
cos(x+y)=0, cos(y+z) = 0, cos(z+w) = 0, cos(w+x) = 0
のいずれか一つでも成立するとき対角線のうち一方が直径となるから T=2 であり、
sin(x-y)=0, sin(y-z)=0, sin(z-w)=0, sin(w-x)=0
のすべてが成立するときは x=y=z=w となり長方形となるから T=2 である。以上により S が極値をとるとき対角線のいずれかがかならず直径となり、４辺の二乗和が 2 となるから S≧0 である。さらにこのとき S = 0 となるのは対角線の長さがともに 1 となるときに限られるから四角形は長方形となる。以上により S≧0 であり、等号成立は長方形の場合である。
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