面白い数学の問題おしえて~な 44問目 (397レス)
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389: 132人目の素数さん [sage] 2025/10/08(水) 08:33:12.68 ID:VoPYoL4R(1/4) AAS
条件を満たす6角形 PQRSTU が存在するとして PQ > QR >RS とする。O を端点とする半直線 OA, OB と半直線 OA 上の 点 A’’、A’、半直線 OB 上の 点 B’’、B’ を
・∠AOB = 60°
・OA = 1, OA’ = 1 + RS/PQ, OA’’ = 1 - RS/PQ
・OB = 1, OB’ = 1 + QR/PQ, OB’’ = 1 - QR/PQ
をみたすようにとる。
390: 132人目の素数さん [sage] 2025/10/08(水) 08:33:38.24 ID:VoPYoL4R(2/4) AAS
u = RS/PQ とすれば
B’A’’² = (PT/PQ)² = 1+u+u²、B’A’² = (QS/PQ)² = 1-u+u²
であるから v = √((1+u+u²)(1-u+u²)) は有理数となり (u,v) は楕円曲線 V² = U⁴ + U² + 1 上の有理点となる。
391: 132人目の素数さん [sage] 2025/10/08(水) 08:33:56.98 ID:VoPYoL4R(3/4) AAS
双有理変換
x = 2(v + 1)、y = 4(v+1) + 2u²
によって (x,y) は Weierestrass 標準形で定義された楕円曲線
Y² = X³ + X² - 4X - 4
に移される
392: 132人目の素数さん [sage] 2025/10/08(水) 08:34:03.87 ID:VoPYoL4R(4/4) AAS
が、この楕円曲線の有理点は
(-1,0)、(-2,0)、(2,0)
に限られるから矛盾する。
https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxztXXNycksKMlMdi4tKkvViDbQMdQx0NE1AaJYTV4uV73MvJLU9KLEnPiCfCCzWCMpvyQjvjgzPa_YNqSoNFUTAL_PFgQ=&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==
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