面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (230ﾚｽ)
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195: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/05(火) 13:57:01.76 ID:MAmUP/aR(1) AAS
(n＋m)_C_n ＝ (n＋m)！/(n！m！)
＝ (n＋m) (n＋m−1)！/(n！(m−1)！) / m
＝ (n＋m) (n＋m−1)_C_n / m
すなわち (n＋m)_C_n ＝ (n＋m) (n＋m−1)_C_n / m である。左辺は整数なので右辺も整数。
よって、(n＋m) (n＋m−1)_C_n は m で割り切れる。n,mは互いに素だから、
(n＋m) と m は互いに素。よって、(n＋m−1)_C_n は m で割り切れる。
特に、(n＋m−1)_C_n / m は整数。
(n＋m−1)_C_n / m ＝ (n＋m−1)！/(n！(m−1)！) / m ＝ (n＋m−1)！/(n！m！)
なので、(n＋m−1)！/(n！m！) は整数。
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