面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (372ﾚｽ)
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133: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:50:04.77 ID:pCjWjeqh(7/7) AAS
3^a = ( 2^(b-1) + 5^(c/4) )( 2^(b-1) - 5^(c/4) )
( 2^(b-1) + 5^(c/4), 2^(b-1) - 5^(c/4) ) = ( 2^b, 2^(b-1) - 5^(c/4)) は 3^a と 2^b の公約数だから 1。
∴ 2^(b-1) - 5^(c/4) = 1, 2^(b-1) + 5^(c/4) = 3^a
∴ 2^(b-1) ≡ 5^(c/4) + 1 ( mod 8 )
∴ c/4 : even, b=2
∴ c = 0
∴ 3^a⋅16 + 1 = 7^d
∴ 3^a⋅16 = (7^(d/2)+1)(7^(d/2)-1)
(7^(d/2)+1)/2,(7^(d/2)-1)/2 は差が 1 よりいずれかが3べきでいずれかが2べき
7^(d/2)+1 = 2⋅3^u、7^(d/2)-1 = 2^v とする。
7^(d/2)-1 ≡ 2^v ( mod 8 ) より d/2 は偶数だがこのとき 0 ≡ 7^(d/2)-1 ≡ 2^v ( mod 3 ) で矛盾。
∴ 7^(d/2)+1 = 2^v、7^(d/2)-1 = 2⋅3^u となる。
7^(d/2)+1 は 8 以上の 2 べきだから 8 の倍数。よって d/2 は奇数であり
7^(d/2)+1 = (7+1)(7^(d/2-1)-7^(d/2-2)+...+1)
が 2 べきで 7^(d/2-1)-7^(d/2-2)+...+1 は奇数だから 1 。
∴ d=2, a=1
193: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/05(火) 03:08:48.77 ID:Srdf2A9W(1) AAS
最後微妙に間違えてた
Nr=0で、Nとm+nも互いに素だから、Nで割れてr=0だった
281: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 19:02:25.77 ID:fWoX7QGu(3/3) AAS
ああそうか
意図分かった
293: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:51:03.77 ID:fZOAs2Xe(5/11) AAS
(iv) G が(3) を満たすとき。e = {x,y}、f = {y,z} とする。G’ = ( V/<x=y E＼{{y,z}} ) とする。G が最小反例だから ⌈(n-1 + β₁(G)-1)/2⌉ ≧ n-1 であるか A’, B’ ⊂ G’ で #A’ = #B’ = ⌈(n-1 + β₁(G)-1)/2⌉、S(A’) = S(B’) = G’ が成立する。前者は容易に矛盾する。後者のときは y ∈ A’ なら A = A’、そうでなければ A = A’∪{y} とし y ∈ B’ なら B = B’、そうでなければ B = B’∪{y} とすれば条件をみたすから反例となりえない。
(v) G が(3) を満たすとき。e = {x,y}、f = {y,z} とする。G’ = ( V, E＼{{x,y},{y,z}} ) とする。G が最小反例だから ⌈(n + β₁(G)-2)/2⌉ ≧ n であるか A’, B’ ⊂ G’ で #A’ = #B’ = ⌈(n + β₁(G)-2)/2⌉、S(A’) = S(B’) = G’ が成立する。前者は容易に矛盾する。A’ が y を含まないときは a = y、そうでないときは a ∈ V＼A’ を任意に選ぶ。B’ に対して同様に b を選ぶ。A’∪{a} = B’∪{b} でないときは A = A’∪{a}、B = B’∪{b} が条件を満たす。A’∪{a} = B’∪{b} であるときは a≠y または b≠y である。a≠y ならば y∈ A’ であり # B’∪{b} ≦ n-1 であるから a’∈V＼B’＼{b} を選んで A = A’∪{a’}、B = B’∪{b} が条件を満たすから反例となりえない。□
298: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:53:30.77 ID:fZOAs2Xe(10/11) AAS
(∵ ⌈n/2⌉ - ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ ≦ n/2 - (n₀ + β₁(G₀))/2 + 1/2 より n/2 - (n₀ + β₁(G₀))/2 + 1/2 ≦ n-n₀ であれば十分だが、これは 1+n₀ ≦ β₁(G₀) + n と同値である。これが成立しないのは n₀ = n、β₁(G₀) = 0 の場合のみである。しかしこのときは C = ∅ とすればよい。) よって A = A₀∪C、B = B₀∪C とすればよい。
以上により #S₁ = 0 である最小反例はない。
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