面白い数学の問題おしえて～な 44問目

面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (372ﾚｽ)
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31: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/09(金) 00:01:11.73 ID:HzMsDVgz(1) AAS
Show all continuous functions f : ℝ→(0,∞) satisfying f(x) = f( x + f(x) ) (∀x∈ℝ ) are constant.

73: １３２人目の素数さん [] 2025/07/02(水) 08:05:14.73 ID:GD2ZEM0+(1/2) AAS
p + q = r
p - q = s
を満たす素数p, q, r, sを全て求めよ

107: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/08(火) 07:10:11.73 ID:7VN2VzFK(1/3) AAS
>>98
うわあ！何ちゅう方法で解いてくれてるんや…
(1)は正解だけど、(2)がどこかで計算ミスしてるかも
xとyの連立方程式立てる所で符号ミスしてない？

130(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:48:50.73 ID:pCjWjeqh(4/7) AAS
(i) (7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2)) = (3^a⋅4^b/2,2) のとき
2⋅5^(c/2) + 2 = 7^(d/2) + 5^(c/2) = 3^a⋅4^b/2
5^(c/2) + 1 = 3^a⋅4^(b-1)
∴ c>0 a:even,
5^(c/2) = (3^(a/2)⋅2^(b-1) + 1)(3^(a/2)⋅2^(b-1) - 1)
3^(a/2)⋅2^(b-1) + 1), 3^(a/2)⋅2^(b-1) - 1 はともに 5 べきで差が２より矛盾。
∴(i) に解なし。

292: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:50:58.73 ID:fZOAs2Xe(4/11) AAS
以下頂点の集合 A ⊂ V に対して S(A) := { e∈E ; e∩A ≠ ∅ } と定める。

補題　G = (V,E) が頂点数 n = #V ≧ 2 の連結有限グラフとする。⌈(n + β₁(G))/2⌉ ≧ n であるか、または相異なる頂点の集合 A,B で #A = #B = ⌈(n + β₁(G))/2⌉, S(A) = S(B) = V となるものがとれる。
(∵) 最小反例で前補題の条件を満たすものが存在しないことを示せばよい。
(i) #V = 2,3 のとき。V = {u,v} のときは A = {u}, B = {v}、V = {u,v,w} のときは A = {u,w}, B = {v,w} とすれば条件をみたすから反例となりえない。
(ii) 部分グラフ H と {x,y,z} ⊂ G で {x,y},{y,z} ∈ E、{x,z} ∉E、H ∩ {x,y,z} = {x} のとき。G が最小反例だから ⌈(n-2 + β₁(G))/2⌉ ≧ n-1 であるか A’, B’ ⊂ H で #A’ = #B’ = ⌈(n-2 + β₁(G))/2⌉、S(A’) = S(B’) = H が成立する。前者は容易に矛盾する。後者のときは y ∈ A’ なら A = A’∪{x}、そうでなければ A = A’∪{y} とし y ∈ B’ なら B = B’∪{z}、そうでなければ B = B’∪{z} とすれば条件をみたすから反例となりえない。
(iii) G が (2) を満たすとき。V = {x₁, x₂, ... ,xₙ}, E = {{x₁,x₂}, {x₂, x₃},...,{xₙ, x₁}} としてよい。n が偶数のときは A = {xₖ ; k odd}∪{xₙ}、B = {xₖ ; k even}∪{x₁} が条件を満たし、n が奇数のときは A = {xₖ ; k odd}、B = {xₖ ; k even}∪{x₁} が条件を満たすから反例となりえない。

297: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:53:26.73 ID:fZOAs2Xe(9/11) AAS
⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ < n₀ のとき。補題から #A₀ = #B₀ = ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉、S(A₀) = S(B₀) = W₀ となる相異なる A₀, B₀ がとれる。このときさらに C⊂W ＼ W₀ を #C = ⌈n/2⌉ - ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ となるようにとれる。

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