面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (373ﾚｽ)
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208: １３２人目の素数さん [] 2025/08/12(火) 17:14:52.25 ID:VI166Ty2(2/2) AAS
>>207
お見事です
301: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 22:27:43.25 ID:Mll4sRUZ(1) AAS
>>299
うお…すごい大作だ 本当にお疲れ様
まじでごめんなんだけど、正しさを確かめる気力が無いから想定解だけ書かせてもらうね
>>282 の続き
Wの部分集合A,Bが A⊂B かつ |A|+2≦|B|≦500 を満たすならば、f(A)≠f(B).
（証明）
Bの元のうちAに属さないものが２つ存在するのでそれらを w_1,w_2 とおく。
A_1:=A∪{w_1}, A_2:=A∪{w_2} とおくと、最初に証明した補題より f(A_1)≠f(A_2) であるから、
f(A) ⊂ f(A_1)∩f(A_2) は f(B) ⊃ f(A_1)∪f(A_2) の真の部分集合である。
（終わり）
（主張の証明）
2^W の部分集合 W_0 を W_0 := W(500) ∪ W(498) ∪ W(496) ∪… と定める。
この時、A,B∈W_0 が A⊂B または B⊂A を満たすならば３つ目の補題から f(A)≠f(B) が導かれ、
どちらも満たさなければ２つ目の補題から f(A)≠f(B) が導かれるので、
f の W_0 への制限は単射であることがわかる。…(1)
2|W_0| = 2Σ_(k=0,250) 1000C(2k) = 1000C500 + Σ_(k=0,500) 1000C(2k) であるが、
(1 + (-1))^1000 の二項展開と (1 + 1)^1000 の二項展開を足し合わせることで Σ_(k=0,500) 1000C(2k) = 2^999 が導けるから、
|W_0| > 2^998. …(2)
(1)と(2)より、|2^S| ≧ |W_0| > 2^998 であるから |S|≧999.
等号成立は >>268 より可能。
（終わり）
318(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/09(火) 00:16:00.25 ID:5QJSkWGE(1/4) AAS
(β,γ) = (1-√2,1)
325: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/10(水) 20:52:36.25 ID:G0ue5EhB(1) AAS
kは正整数の定数、eは自然対数の底とする。
a[n]={1+(1/n)}^n
に対して、以下の極限を求めよ。
lim[n→∞] (a[n]-a[n+k])/(a[n]-e)
368: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/29(月) 16:04:54.25 ID:8xqOBJ1I(1) AAS
|α|=1, β = -t α ( t≧0 ) において
|a| + |b| = | 1 - tα | + | -t α | ≧ 1 - | tα | + | -t α | = 1
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