面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (373ﾚｽ)
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16: １３２人目の素数さん [] 2025/05/03(土) 16:39:15.09 ID:r6DOu6Y3(1) AAS
>>15
円収角を使った頭のお粗末さからこれ以上無いスーパーアホと思われるが、わからないなら仕方ない
円に内接する四角形 ABCD（半径 R)で、対角線 AC = p、BD = q(ともに直径 2R)、辺 AB = a、BC = b、CD = c、DA = dとする
長方形では対角線が等しい（p = q = 2R)
p^2 + q^2 = (2R)^2 + (2R)^2 = 8R^2
しかし円に内接する長方形は必ず正方形
a = b = c = d = R√2）になり
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4・(R√2})^2 = 8R^2
等号は正方形で成立
非正方形の長方形は円に内接できないため、長方形で等号が成立するとしたのは誤り
69: １３２人目の素数さん [sage] 2025/06/15(日) 22:18:29.09 ID:ti12w4SZ(2/2) AAS
「誤差」が曖昧だったようです。申し訳ありません。
ここでいう誤差は相対誤差のことで、下で考えます。
| (近似値)/(真の値) -1 |
例えば、(a,b,c)=(1,1,0)としたものは、マンハッタン距離とよばれています。
マンハッタン距離を近似式と見なした場合、
x=3,y=4の時正確な長さは5だけど、マンハッタン距離では7と評価することになります。
このときの誤差は|7/5-1|=0.4
マンハッタン距離において、誤差が最小になるのは、x/y→0になるような時で、0に近づき、
逆に最大になるのはx=yの時で、最大誤差は√2-1≒0.41
a,b,cを上手く選ぶと、この値をもっと小さくできます。
その最小値(下限)を問う問題です。
81: １３２人目の素数さん [] 2025/07/04(金) 06:03:17.09 ID:v2U1o9Qh(2/3) AAS
失礼、mod3だと1+1=-1があるからすぐには言えないのか
83: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/04(金) 12:19:17.09 ID:hfI3M9pz(1) AAS
f(x)=ax-bsinx
が極値を持つための、実数a,bについての条件を求めよ。
91: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/07(月) 07:14:24.09 ID:GembIYYc(1) AAS
>>89
残念。x_i=1/20 だと Σ_[i=1,20] ix_i = 21/2 になります
148: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/14(月) 08:41:47.09 ID:sMJtkUkz(1/2) AAS
まぁ面白いのは間違いないわな。証明感動すると同時によくこんなの思いつくなと思ったし。
282(2): １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/31(日) 18:56:12.09 ID:QaV2l/9l(1/2) AAS
>>274 ヒント続き
（今更だけど「/」は差集合。＼と間違えたけどこのまま進めます。ごめんちょ）
Wの部分集合A,Bが A⊂B でも B⊂A でもなく、|A|, |B| ≦ 500 を満たすならば、f(A)≠f(B).
（証明）
|A|=|B|の時は証明済み。
|A|<|B|として一般性を失わないのでそのように仮定する。
0 < |A/(A∩B)| < |B/(A∩B)| より、集合 B/(A∩B) から任意に |B|-|A| 個の元を選んでその集合をCとおくと、
A':=A∪C は A⊂A'⊂B、 |A'|=|B|、 0<|A'/(A'∩B)| (すなわち A'≠B) を満たす。
f(A)=f(B) と仮定すると f(A') = f(A)∪f(C) = f(B)∪f(C) = f(B) より、f の W(|B|) への制限の単射性に反する。
（終わり）
334(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/13(土) 18:22:16.09 ID:15EaKNrN(1) AAS
a,bを実数の定数とする。
実数x,yが
x^2+xy+y^2=1
を満たしながら動くとき、
f(x,y)=a(x+y)-bxy
は恒等的に定数ではないとする。
f(x,y)の最大値を与える(x,y)を(p,q)、最小値を与える(x,y)を(r,s)とおく。
xy平面上の原点をO、A(p,q)、B(r,s)とするとき、cos∠AOBをa,bで表し、さらにa,bが実数全体を動くときのcos∠AOBの取りうる値の範囲を求めよ。
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