[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/

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851: 大学数学のガイド [] 2025/07/10(木) 06:27:50.68 ID:qrKwczIE >ペアノの公理 の式 >N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} >を、必死で擁護しているけれども >(中略) >するべきことは、この自然数Nの定義が、 >実際に無限公理を使って、2項演算∩の繰返しで >N＝{0,1,2,3,・・・} であることを証明することだよ あらあら　現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP　は 大学１年生がやらかす典型的なつまづきのパターンに陥ってますね N＝{0,1,2,3,・・・}ってなんですか ・・・って定義ですか？ 全然違うよね？ 無限公理を満たす全ての集合Aについて {}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x] という条件を満たす部分集合xの共通集合をとれば それがy∈x→y∪{y}∈xでありそれ以外の要素を含まない 最小の集合Nになるというだけ どこにも{0,1,2,3,・・・}なんてでてこない 「・・・」じゃ証明できないよね？ 自分勝手にナイーブな、しかも全然意味がない主張 （例{0,1,2,3,・・・}）を持ってきて これが証明すべきこととか勝手に決めつけるから 実数の定義でも数列の収束の定義でも関数の連続性の定義でも なぜこれが定義か「証明」せねばならない とかいいだしてつまづくんだよ 定義を証明する必要なんかない 定義の上にある超定義なんかないんだから http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/851

852: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/10(木) 07:08:02.22 ID:J4CWtGen >>848-851 ふっふ、ほっほ もう詰んだのか？ｗ ；ｐ） 　>>727より再録 >”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}” この式は、下記（ja.ipedia）のペアノの公理 自然数の集合論的構成 の式だが 上記の通り、∩のIterated binary operation の意味が不明確（この説明を求められると詰まるだろう） なので、∩を使わない 別の工夫がある（下記） 例えば en.wikipedia Axiom of infinity, Extracting the natural numbers from the infinite set, Alternative method あるいは fr.wikipedia Axiome de l'infini あるいは、>>569 筑波大 坪井明人 PDF P9 https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf 数理論理学II あるいは、>>677 渕野昌 P10（無限公理）https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf 「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部 以上 (引用終り) 繰り返すが、∩のIterated binary operation の意味が不明確 さらに、wikipedia Axiom of infinity 記述を引用する >>630-631 より https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity Axiom of infinity Extracting the natural numbers from the infinite set The infinite set I is a superset of the natural numbers. To show that the natural numbers themselves constitute a set, the axiom schema of specification can be applied to remove unwanted elements, leaving the set N of all natural numbers. This set is unique by the axiom of extensionality. To extract the natural numbers, we need a definition of which sets are natural numbers. The natural numbers can be defined in a way that does not assume any axioms except the axiom of extensionality and the axiom of induction—a natural number is either zero or a successor and each of its elements is either zero or a successor of another of its elements. In formal language, the definition says: ∀n(n∈N⟺([n=∅∨∃k(n=k∪{k})]∧∀m∈n[m=∅∨∃k∈n(m=k∪{k})])). Or, even more formally: ∀n(n∈N⟺([∀k(¬k∈n)∨∃k∀j(j∈n⟺(j∈k∨j=k))]∧ 　∀m(m∈n⇒[∀k(¬k∈m)∨∃k(k∈n∧∀j(j∈m⟺(j∈k∨j=k)))]))). つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/852

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